Tangente dintr-un punct exterior la un cerc
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul C(O, 5 cm) și dreptele d₁, d₂, d₃, situate la distanțele de 3 cm, 5 cm și, respectiv, 7 cm de punctul O. Precizați poziția fiecărei drepte față de cerc (secantă, tangentă sau exterioară) și câte puncte comune are fiecare dreaptă cu cercul. Justificați răspunsul pentru dreapta tangentă folosind definiția tangentei.
2. Din punctul M, exterior cercului C(O, 6 cm), se duc tangentele MA și MB la cerc, cu A, B pe cerc. Știind că MO = 10 cm: a) explicați de ce triunghiul MAO este dreptunghic; b) calculați lungimile segmentelor MA și MB; c) calculați perimetrul și aria patrulaterului MAOB.
3. Din punctul P, exterior unui cerc de centru O, se duc tangentele PA și PB la cerc (A, B pe cerc). Măsura unghiului APB este de 70°. Determinați: a) măsura unghiului AOB; b) măsura arcului mic AB; c) măsura unghiului PAB; d) măsura unghiului OAB.
4. Laturile triunghiului ABC sunt tangente unui cerc în punctele D ∈ AB, E ∈ BC și F ∈ AC. Știind că AB = 10 cm, BC = 12 cm și AC = 8 cm, determinați lungimile segmentelor AD, BE și CF. Scrieți rezolvarea completă, precizând proprietatea folosită.
5. Laturile patrulaterului convex ABCD sunt tangente unui cerc. Se știe că AB = 9 cm, BC = 7 cm și CD = 5 cm. Determinați lungimea laturii AD și perimetrul patrulaterului. Precizați relația dintre laturi pe care ați folosit-o și explicați de unde provine.
6. Din punctul M, exterior cercului C(O, r), se duc tangentele MA și MB la cerc (A, B pe cerc). a) Demonstrați că triunghiul MAB este isoscel. b) Demonstrați că dreapta MO este perpendiculară pe AB. c) Dacă măsura unghiului AMB este de 60°, arătați că triunghiul MAB este echilateral și că MO = 2r.
7. Laturile unui trapez isoscel sunt tangente unui cerc. Bazele trapezului au lungimile de 18 cm și 8 cm. Calculați: a) lungimea unei laturi neparalele; b) perimetrul trapezului; c) înălțimea trapezului și raza cercului.
8. O fântână arteziană are forma unui cerc cu centrul O și raza de 5 m. Dintr-un stâlp aflat în punctul M, la 13 m de centrul fântânii, se întind două frânghii drepte, MA și MB, care ating marginea fântânii fiecare într-un singur punct, A și B. Modelați situația printr-un desen geometric și calculați: a) lungimea fiecărei frânghii; b) distanța dintre punctele A și B (rezultatul exact și o aproximare cu două zecimale).