Tangente dintr-un punct exterior la un cerc
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră un cerc de centru O și rază 7 cm și dreptele a, b, c. Distanțele de la O la aceste drepte sunt: d(O, a) = 5 cm, d(O, b) = 7 cm, d(O, c) = 9 cm. Precizează poziția fiecărei drepte față de cerc (secantă, tangentă sau exterioară). Scrie apoi câte puncte comune are fiecare dreaptă cu cercul. Justifică fiecare răspuns.
2. Se consideră un cerc de centru O cu raza de 3 cm și un punct P cu OP = 8 cm. Descrie, pas cu pas, cum construiești cu rigla și compasul tangentele la cerc duse din punctul P. Precizează centrul și raza cercului ajutător pe care îl folosești. Explică de ce punctele obținute sunt puncte de tangență.
3. Dintr-un punct A, exterior unui cerc de centru O și rază 9 cm, se duce tangenta AT la cerc, cu T pe cerc. Știind că OA = 15 cm, calculează lungimea segmentului AT și aria triunghiului AOT.
4. Din punctul A, exterior unui cerc de centru O, se duc tangentele AT₁ și AT₂ la cerc, cu T₁ și T₂ pe cerc. Se știe că AT₁ = 7 cm și că unghiul T₁AT₂ are 60°. Determină lungimea segmentului AT₂ și precizează natura triunghiului AT₁T₂. Calculează apoi perimetrul triunghiului AT₁T₂.
5. Din punctul P, exterior unui cerc de centru O, se duc tangentele PE și PF, cu E și F pe cerc. Unghiul EPF are 50°. Determină măsurile unghiurilor EOF, PEF și OEF.
6. Din punctul A, exterior unui cerc de centru O, se duc tangentele AT₁ și AT₂ la cerc. Demonstrează că semidreapta AO este bisectoarea unghiului T₁AT₂. Demonstrează apoi că semidreapta OA este bisectoarea unghiului T₁OT₂. Redactează demonstrația cu ipoteză, concluzie și justificarea fiecărui pas.
7. Se consideră un cerc de centru O și rază 6 cm și un punct P cu OP = 12 cm. Tangentele duse din P ating cercul în punctele E și F. Răspunde la cerințele de mai jos. a) Determină măsura unghiului EPO. b) Determină măsura unghiului EPF. c) Calculează lungimea segmentului PE. d) Calculează perimetrul triunghiului PEF. e) Calculează aria patrulaterului OEPF.
8. Un lac are forma unui cerc cu centrul O și raza de 15 m. Dintr-un punct A, aflat la 39 m de centrul lacului, pornesc două alei drepte, AT₁ și AT₂. Fiecare alee atinge malul lacului într-un singur punct (T₁, respectiv T₂). a) Calculează lungimea fiecărei alei. b) Calculează aria suprafeței delimitate de cele două alei și de razele OT₁ și OT₂, adică aria patrulaterului AT₁OT₂.