Tangente dintr-un punct exterior la un cerc
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul 𝒞(O, 5 cm) și punctul A, exterior cercului, astfel încât OA = 13 cm. Din punctul A se construiește tangenta AB la cerc, B ∈ 𝒞(O, 5 cm). a) Precizează măsura unghiului OBA și justifică răspunsul folosind o teoremă din lecție. b) Calculează lungimea segmentului AB.
2. Din punctul A, exterior cercului 𝒞(O, r), se construiesc tangentele AM și AN, cu M, N ∈ 𝒞(O, r). Știind că AM = (3x + 2) cm și AN = (5x − 6) cm, determină numărul x și lungimea segmentului AM. Justifică relația pe care o folosești.
3. Din punctul A, exterior cercului 𝒞(O, 6 cm), se construiesc tangentele AB și AC, cu B, C ∈ 𝒞(O, 6 cm), astfel încât ∢BAC = 60°. a) Determină măsura unghiului BOC. b) Determină măsura unghiului OAB. c) Demonstrează că triunghiul ABC este echilateral. d) Calculează lungimea segmentului OA.
4. Dreptele AM și AP sunt tangente la cercul 𝒞(O, r), cu M, P ∈ 𝒞(O, r). Punctele B și C aparțin segmentelor AM și, respectiv, AP, astfel încât dreapta BC este tangentă la cerc în punctul N. a) Demonstrează că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 2 · AM. b) Calculează perimetrul triunghiului ABC, știind că AM = 10 cm.
5. Din punctul A, exterior cercului 𝒞(O, r), se construiesc tangentele AB și AC, cu B, C ∈ 𝒞(O, r). Dreptele AO și BC se intersectează în punctul M. a) Demonstrează că dreapta AO este mediatoarea segmentului BC. b) Știind că OB = 6 cm și OA = 10 cm, calculează lungimile segmentelor AB, BM și BC.
6. Laturile patrulaterului convex ABCD sunt tangente la un cerc. Punctele de tangență sunt E ∈ AB, F ∈ BC, G ∈ CD și H ∈ DA. a) Folosind proprietatea tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc, demonstrează că AB + CD = BC + AD. b) Știind că AB = 8 cm, BC = 11 cm și CD = 13 cm, determină lungimea laturii AD.
7. Două roți ale unui mecanism sunt modelate prin cercurile tangente exterior 𝒞₁(O₁, 4 cm) și 𝒞₂(O₂, 9 cm). O curea întinsă este modelată prin dreapta MN, tangentă comună celor două cercuri, cu M ∈ 𝒞₁ și N ∈ 𝒞₂, astfel încât cercurile se află de aceeași parte a dreptei MN. a) Calculează distanța O₁O₂. b) Determină lungimea segmentului MN. Indicație: construiește perpendiculara din O₁ pe O₂N.
8. Un lac are forma unui cerc cu centrul O și raza de 30 m. Un observator stă în punctul A, aflat la 50 m de centrul lacului. Privirile lui ating malul lacului în punctele B și C, iar dreptele AB și AC sunt tangente la cerc. a) Calculează distanța de la observator până la punctul B. b) Calculează distanța dintre punctele B și C.