Tangente la cerc

1. Se consideră cercul C(O, 6 cm) și dreptele a, b, c. Distanța de la centrul O la dreapta a este de 4 cm, distanța de la O la dreapta b este de 6 cm, iar distanța de la O la dreapta c este de 7,5 cm. Precizați poziția fiecărei drepte față de cerc (exterioară, secantă sau tangentă) și justificați. Pentru dreapta tangentă, precizați câte puncte comune are cu cercul.

2. Punctul A aparține cercului C(O, 7 cm), iar dreapta MA este tangentă în A la cerc. Știind că m(∢AMO) = 30°, determinați măsura unghiului OAM, măsura unghiului AOM și lungimea segmentului OM. Justificați fiecare răspuns.

3. Din punctul P, exterior cercului C(O, r), se duc tangentele PA și PB la cerc, cu A, B ∈ C(O, r). Știind că m(∢APB) = 50°, determinați: a. măsura unghiului AOB; b. măsura unghiului OPA; c. măsura unghiului PAB.

4. Cercul înscris în triunghiul ABC este tangent laturilor AB, BC și CA în punctele D, E, respectiv F. Se știe că AB = 12 cm, BC = 10 cm și CA = 8 cm. Calculați lungimile segmentelor AD, BE și CF. Indicație: notați AD = x și folosiți congruența tangentelor duse dintr-un punct exterior.

5. Toate laturile patrulaterului ABCD sunt tangente la cercul C(O, r). Știind că AB = 9 cm, BC = 7 cm și CD = 6 cm, calculați lungimea laturii AD și perimetrul patrulaterului ABCD. Precizați proprietatea folosită.

6. Punctele A și C aparțin cercului C(O, r), iar dreapta AT este tangentă în A la cerc. Știind că m(∢TAC) = 70°, unde arcul AC considerat este cel aflat în interiorul unghiului TAC, determinați: a. măsura acestui arc AC; b. măsura unghiului AOC; c. măsura unghiului ABC, unde B este un punct al cercului situat pe celălalt arc AC.

7. Din punctul M, exterior cercului C(O, r), se duc tangentele MA și MB, cu A, B ∈ C(O, r). Segmentul AB intersectează dreapta MO în punctul N. Demonstrați că MO ⊥ AB și că N este mijlocul segmentului AB. Redactați complet demonstrația.

8. Un butoi cilindric este așezat culcat într-un colț al unei încăperi, astfel încât atinge atât podeaua, cât și peretele. În secțiune, butoiul este un cerc cu raza de 40 cm, iar podeaua și peretele sunt reprezentate de două drepte perpendiculare, tangente la cerc în punctele A (pe podea), respectiv B (pe perete). Notăm cu C colțul încăperii și cu O centrul cercului. a. Arătați că patrulaterul OACB este pătrat. b. Calculați distanța de la colțul C la punctul A în care butoiul atinge podeaua. c. Calculați distanța de la colțul C la centrul O.