Tangente la un cerc, dintr-un punct exterior
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cercul C(O, 5 cm) și punctul A, exterior cercului, astfel încât OA = 13 cm. Din punctul A se construiesc tangentele AM și AN la cerc, cu M, N ∈ C(O, 5 cm). Realizați un desen corespunzător. Calculați lungimile segmentelor AM și AN și justificați fiecare pas al rezolvării.
2. Din punctul A, exterior cercului C(O, r), se construiesc tangentele AB și AC la cerc, cu B, C ∈ C(O, r). Se știe că ∢BAC = 60° și OA = 10 cm. Calculați raza cercului și lungimea segmentului AB. Precizați proprietatea semidreptei AO pe care o folosiți.
3. Dreptele PA și PB sunt tangente la cercul de centru O în punctele A și B. Se știe că ∢APB = 70°. Calculați măsura unghiului AOB și măsura unghiului PAB. Justificați răspunsurile.
4. În triunghiul ABC se cunosc AB = 7 cm, BC = 8 cm și AC = 9 cm. Cercul înscris în triunghi este tangent laturilor BC, AC și AB în punctele A₁, B₁, respectiv C₁. Calculați lungimile segmentelor AC₁, BA₁ și CB₁, folosind semiperimetrul triunghiului.
5. Laturile patrulaterului convex ABCD sunt tangente la un cerc. Se știe că AB = 6 cm, BC = 9 cm și CD = 10 cm. Calculați lungimea laturii AD și perimetrul patrulaterului ABCD. Enunțați proprietatea pe care o folosiți.
6. Fie M un punct al cercului C(O, r) și T un punct exterior cercului. Stabiliți, cu justificare, dacă dreapta TM este tangentă cercului în fiecare dintre cazurile: a) r = 6 cm, TM = 8 cm, TO = 10 cm; b) r = 5 cm, TM = 7 cm, TO = 9 cm.
7. Dreptele TA și TB sunt tangente cercului C(O, 6 cm), cu A, B ∈ C(O, 6 cm), iar TO = 12 cm. a) Calculați măsura unghiului ATB și măsura unghiului AOB. b) Calculați perimetrul patrulaterului AOBT. c) Demonstrați că triunghiul TAB este echilateral.
8. Un lac are forma unui cerc cu centrul O și raza de 300 m. Doi copii pleacă din punctul A, aflat la 500 m de centrul lacului. Fiecare merge în linie dreaptă, pe un drum tangent la malul lacului, până în punctul de tangență: primul ajunge în M, al doilea în N. a) Arătați că cei doi copii parcurg aceeași distanță. b) Calculați distanța parcursă de fiecare copil. c) Calculați distanța MN dintre punctele în care au ajuns copiii.