Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales. Împărțirea unui segment în părți proporționale

1. Fie triunghiul ABC. Punctele D și E aparțin segmentelor AB și, respectiv, AC, astfel încât DE ∥ BC. Se știe că AD = 4 cm, DB = 6 cm și AE = 6 cm. Calculează lungimile segmentelor EC și AC. Scrie teorema pe care o folosești.

2. Fie triunghiul MNP. Punctul A aparține segmentului MN, astfel încât MA/AN = 2/3. Paralela la dreapta NP dusă prin punctul A intersectează dreapta MP în punctul B. Calculează valorile rapoartelor MB/BP, MB/MP și AN/MN.

3. Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M și, respectiv, N. Stabilește dacă dreptele MN și BC sunt paralele în fiecare dintre cazurile de mai jos. Justifică fiecare răspuns. a) AM = 6 cm, MB = 4 cm, AN = 9 cm, NC = 6 cm; b) AM = 5 cm, AB = 12 cm, AN = 7 cm, AC = 16 cm; c) AM = 3 cm, MB = 1,2 dm, AN = 2 cm, NC = 8 cm.

4. Fie triunghiul ABC. Punctele M și N aparțin semidreptelor AB și, respectiv, AC, astfel încât AB < AM, AC < AN și MN ∥ BC. Se știe că AB = 8 cm, BM = 4 cm și AC = 10 cm. Calculează lungimile segmentelor CN și AN.

5. Fie triunghiul ABC. Punctele M și N aparțin semidreptelor BA și, respectiv, CA, astfel încât punctul A aparține segmentelor BM și CN, iar MN ∥ BC. Se știe că AM = 3 cm, AB = 9 cm și AN = 4 cm. Calculează lungimile segmentelor AC și NC.

6. Fie ABCD un trapez cu AB ∥ CD și AC ∩ BD = {O}. Se știe că OA = 12 cm, OC = 4 cm și OB = 9 cm. Determină lungimile segmentelor OD și BD. Redactează rezolvarea completă.

7. Fie triunghiul ABC cu AB = 6 cm, AC = 9 cm și BC = 10 cm. Bisectoarea unghiului BAC intersectează latura BC în punctul D. Folosind teorema bisectoarei, calculează lungimile segmentelor BD și DC.

8. Segmentul AB are lungimea de 14 cm. Descrie pașii prin care, cu ajutorul teoremei lui Thales, se împarte segmentul AB în două părți proporționale cu numerele 3 și 4. Apoi calculează lungimile celor două părți și explică de ce construcția este corectă.