Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabilește dacă fiecare dintre afirmațiile următoare este adevărată sau falsă. Justifică prin calcul. a) 7 + 5 = 4 · 3; b) 18 − 6 = 2 + 9; c) 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4; d) 20 : 4 + 1 = 20 : (4 + 1).
2. Literele de mai jos reprezintă numere reale. Stabilește care dintre afirmații sunt identități. Pentru afirmațiile care nu sunt identități, dă un contraexemplu, adică o valoare a literei pentru care afirmația este falsă. a) 2(x + 3) = 2x + 6; b) 5a − 2a = 3; c) (a + b) · c = a · c + b · c; d) x + x = x · x.
3. Copiază pe caiet și completează spațiile libere, astfel încât să obții egalități echivalente cu cele date. Precizează operația pe care ai aplicat-o în ambii membri. a) Dacă a = b, atunci a + 5 = b + .... ; b) Dacă x − 7 = y − 7, atunci x = .... ; c) Dacă 3m = 3n, atunci m = .... ; d) Dacă a : 4 = b : 4, atunci a = .... ; e) Dacă p + q = r + q, atunci p + 2 = .... + 2.
4. Aplică în ambii membri operația indicată după bara verticală și scrie egalitatea echivalentă obținută, în forma cea mai simplă. Urmează modelul: x + 3 = 2x + 5 |−3 ⇔ x = 2x + 2. a) 2x + 3y − 5 = x − y + 4 |−x + 5; b) 4a² − 3ab + 7 = a² − 2ab − 1 |+3ab − 7; c) x/2 + y/3 = 1 |·6; d) −4x + 6y = 10 |:(−2).
5. Se consideră x și y două numere reale. a) Dacă x/2 = y/5, arată că 25x² = 4y². b) Dacă 9x² = 4y², este adevărată în orice situație relația 3x = 2y? Justifică răspunsul, oferind eventual un contraexemplu.
6. Victor îi arată Sarei o „demonstrație” că 7 = 5. El pornește de la a = 1: Pasul 1: 2a = 2 (a înmulțit ambii membri cu 2); Pasul 2: 7a − 5a = 7 − 5 (a scris 2a ca 7a − 5a și 2 ca 7 − 5); Pasul 3: 7a − 7 = 5a − 5 (a adunat 5a − 7 în ambii membri); Pasul 4: 7(a − 1) = 5(a − 1) (a dat factor comun); Pasul 5: 7 = 5 (a împărțit ambii membri la a − 1). Identifică pasul greșit și explică de ce transformarea făcută la acel pas nu este permisă.
7. Două egalități care conțin litere sunt echivalente dacă sunt adevărate sau false pentru aceleași valori ale literelor. Stabilește dacă egalitățile din fiecare pereche sunt echivalente (x este număr real). Justifică răspunsul. a) 3x + 6 = 12 și x + 2 = 4; b) x = 3 și x · x = 3x.
8. Ana și Mihai au sume de bani egale. Fiecare primește de la bunici câte 35 de lei, apoi fiecare cheltuiește jumătate din suma pe care o are în acel moment. După aceste operații, Ana are 90 de lei. a) Ce sumă are acum Mihai? Justifică folosind proprietățile egalităților. b) Notează cu s suma inițială a fiecăruia. Scrie o egalitate care descrie situația, apoi transform-o pas cu pas în egalități echivalente, precizând de fiecare dată operația aplicată, până afli valoarea lui s.