Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități

1. Completează spațiile punctate, astfel încât egalitățile rezultate să fie echivalente: a) x = 5 ⇔ x + 7 = 5 + … ⇔ x + 7 = …; b) x = –4 ⇔ 6x = 6 · … ⇔ 6x = …; c) 3x = 27 ⇔ 3x : 3 = 27 : … ⇔ x = …; d) x – 2/5 = 1 ⇔ x – 2/5 + 2/5 = 1 + … ⇔ x = … .

2. Precizează proprietatea relației de egalitate sau transformarea folosită în fiecare caz: a) Dacă 2x = 3y și 3y = 12, atunci 2x = 12. b) Dacă x + 4 = 9, atunci 9 = x + 4. c) x + 4 = 9 ⇔ x = 9 – 4. d) x/3 = 7 ⇔ x = 21.

3. Numerele reale a și b verifică egalitatea 3a + 6b = 21. Calculează: a) a + 2b; b) 5a + 10b; c) 2a + 4b – 9. Precizează transformările folosite.

4. Determină numerele reale x pentru care 2x² – 5 = 13 – x². Scrie succesiunea de egalități echivalente pe care le obții.

5. Demonstrează că egalitatea 3 · (x – 2y) – 2 · (x – 4y) = x + 2y, cu x, y ∈ ℝ, este o identitate. Pentru fiecare pas al calculului, precizează regula sau proprietatea aplicată.

6. Se consideră egalitatea (x + 1) · y = x + y, cu x, y ∈ ℝ. a) Arată că egalitatea nu este o identitate pe ℝ. b) Arată că, pentru x = 0, egalitatea este adevărată oricare ar fi numărul real y.

7. Numerele reale nenule x și y verifică condiția x + 2y ≠ 0 și egalitatea (3x + y)/(x + 2y) = 2. Calculează raportul x/y.

8. Arată că, pentru orice număr natural n, are loc identitatea 3ⁿ⁺² – 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 5 · 3ⁿ.