Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă; identități

1. Știind că a = b, unde a și b sunt numere reale, scrie egalitatea echivalentă cu aceasta, obținută: a) adunând 7 la ambii membri; b) scăzând 2,5 din ambii membri; c) înmulțind ambii membri cu –3; d) împărțind ambii membri la 4, apoi adunând 1 la ambii membri.

2. a) Dacă x + 3y = 6, calculează 5(x + 3y) și 2x + 6y. b) Dacă 4a – 4b = 20, calculează a – b și 3a – 3b. Scrie, de fiecare dată, ce transformare ai aplicat egalității date.

3. Pe un taler al unei balanțe se află 3 pere și 5 caise, iar pe celălalt taler se află 1 pară și 13 caise. Balanța este în echilibru. Toate perele cântăresc la fel, iar toate caisele cântăresc la fel. Notează cu p masa unei pere și cu c masa unei caise. Scrie egalitatea corespunzătoare și transform-o, pas cu pas, în egalități echivalente. Află câte caise cântăresc cât o pară.

4. Știind că x – y = 4 și y + 2z = 3, calculează: a) x + 2z; b) 2x + 4z. Explică ce proprietăți ale egalității ai folosit.

5. Știind că a + b = 7 și b – 2c = 1, calculează a + 3b – 4c. (Indicație: scrie expresia a + 3b – 4c folosind expresiile a + b și b – 2c.)

6. Scrie, pentru fiecare dintre echivalențele de mai jos, proprietatea relației de egalitate care a fost aplicată: 5x – 7 = 2x + 8 ⇔ 3x – 7 = 8 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5.

7. Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea L și lățimea l se calculează cu formula P = 2(L + l). a) Transformă formula în egalități echivalente, pas cu pas, pentru a exprima lungimea L în funcție de P și l. Scrie la fiecare pas transformarea aplicată. b) Folosește formula obținută pentru a calcula lungimea unui dreptunghi cu perimetrul de 30 cm și lățimea de 6 cm.

8. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare reală a lui x se numește identitate. a) Arată că egalitatea 3(x + 2) – 2(x – 1) = x + 8 este o identitate. b) Stabilește dacă egalitatea 2(x + 1) = 2x + 1 este o identitate. Justifică răspunsul.