Trapezul. Linia mijlocie în trapez

1. Fie ABCD un trapez cu AB ∥ CD, în care ∢DAB = 65° și ∢ABC = 110°. Determină măsurile unghiurilor ADC și BCD. Justifică fiecare răspuns folosind proprietatea unghiurilor interne de aceeași parte a secantei.

2. Fie ABCD un trapez cu AB ∥ CD, AB > CD, și EF linia sa mijlocie (E ∈ AD, F ∈ BC). a) Dacă AB = 18 cm și CD = 10 cm, calculează lungimea segmentului EF. b) Dacă EF = 11 cm și CD = 7 cm, calculează lungimea segmentului AB.

3. Măsurile a două unghiuri alăturate unei laturi neparalele a unui trapez isoscel sunt direct proporționale cu numerele 2 și 7. Determină măsurile tuturor unghiurilor trapezului.

4. Fie ABCD un trapez isoscel cu AB ∥ CD, AB = 20 cm, CD = 12 cm și ∢DAB = 60°. Punctele M și N aparțin segmentului AB, astfel încât DM ⊥ AB și CN ⊥ AB. a) Arată că AM = 4 cm. b) Determină lungimea laturii AD. c) Calculează perimetrul trapezului ABCD.

5. Fie ABCD un trapez cu AB ∥ CD, AB = 24 cm și CD = 10 cm. Linia mijlocie EF a trapezului (E ∈ AD, F ∈ BC) intersectează diagonala AC în punctul M și diagonala BD în punctul N. Calculează lungimile segmentelor EF, EM, FN și MN.

6. Fie ABCD un trapez cu AB ∥ CD, în care AD ≡ DC. Demonstrează că diagonala AC este bisectoarea unghiului DAB. Scrie ipoteza, concluzia și demonstrația.

7. Fie ABCD un trapez dreptunghic cu AB ∥ CD, ∢A = ∢D = 90°, AB = 15 cm, CD = 9 cm și ∢ABC = 45°. Punctul N aparține segmentului AB, astfel încât CN ⊥ AB. a) Arată că patrulaterul ANCD este dreptunghi. b) Determină lungimea segmentului AD. c) Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului.

8. Un raft de flori are vederea din față în formă de trapez isoscel. Baza de jos are 80 cm, iar baza de sus are 40 cm. Fiecare latură neparalelă este împărțită în 4 părți egale. Prin punctele de diviziune se montează trei poliți orizontale, paralele cu bazele. Determină lungimile celor trei poliți. Indicație: folosește de mai multe ori teorema liniei mijlocii în trapez.