Triunghiuri asemenea: criterii de asemănare, teorema fundamentală a asemănării și aplicații
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se știe că ΔABC ~ ΔMNP, AB = 6 cm, BC = 9 cm, AC = 12 cm și MN = 4 cm. În plus, m(∠A) = 50° și m(∠B) = 70°. a) Scrieți perechile de unghiuri corespunzătoare și perechile de laturi corespunzătoare. b) Calculați raportul de asemănare AB/MN. c) Calculați lungimile segmentelor NP și MP. d) Determinați măsurile unghiurilor N și P.
2. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ (AB) și N ∈ (AC), astfel încât MN ∥ BC. Se cunosc AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 5 cm și MN = 6 cm. a) Enunțați teorema care vă permite să stabiliți asemănarea dintre triunghiurile AMN și ABC și scrieți rapoartele egale care rezultă. b) Calculați lungimile segmentelor AC și BC.
3. Triunghiul ABC are laturile AB = 5 cm, BC = 7 cm și AC = 9 cm. Triunghiul DEF are laturile DE = 21 cm, EF = 27 cm și DF = 15 cm. a) Demonstrați că cele două triunghiuri sunt asemenea și precizați criteriul de asemănare folosit. b) Scrieți relația de asemănare cu vârfurile în ordinea corectă. c) Precizați raportul de asemănare.
4. În triunghiul ABC se consideră punctele D ∈ (AB) și E ∈ (AC), astfel încât ∠ADE ≡ ∠ACB. Se cunosc AD = 4 cm, AE = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. a) Demonstrați că ΔADE ~ ΔACB, precizând criteriul de asemănare folosit. b) Calculați lungimile segmentelor AB și DE.
5. Triunghiurile ABC și DEF au AB = 6 cm, AC = 9 cm, m(∠A) = 40°, DE = 10 cm, DF = 15 cm și m(∠D) = 40°. a) Demonstrați că ΔABC ~ ΔDEF, precizând criteriul de asemănare folosit. b) Știind că EF = 20 cm, calculați lungimea laturii BC.
6. Triunghiurile ABC și A'B'C' sunt asemenea (ΔABC ~ ΔA'B'C'), cu AB = 4 cm și A'B' = 10 cm. Aria triunghiului ABC este 12 cm², iar perimetrul său este 15 cm. a) Calculați raportul de asemănare AB/A'B'. b) Calculați perimetrul triunghiului A'B'C'. c) Calculați aria triunghiului A'B'C', justificând proprietatea folosită.
7. În trapezul ABCD, cu AB ∥ CD, AB = 15 cm și CD = 10 cm, diagonalele se intersectează în punctul O. Diagonala AC are lungimea 20 cm. a) Demonstrați că ΔOAB ~ ΔOCD. b) Calculați lungimile segmentelor OA și OC. c) Determinați raportul dintre aria triunghiului OAB și aria triunghiului OCD.
8. Într-o zi însorită, umbra unui stâlp vertical are lungimea de 6,4 m. În același moment, Ana, care are înălțimea de 1,5 m, are o umbră de 1,2 m. Stâlpul și Ana stau vertical pe un teren orizontal, iar razele soarelui pot fi considerate paralele. a) Realizați un desen care modelează situația și precizați cele două triunghiuri asemenea, justificând asemănarea. b) Calculați înălțimea stâlpului.