Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării
Disciplina: MatematicăClasa: a 7-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se știe că ∆ABC ∼ ∆MNP. Scrieți cele trei perechi de unghiuri congruente și șirul de rapoarte egale dintre laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri.
2. Triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea (∆ABC ∼ ∆DEF). Se știe că AB = 6 cm, BC = 9 cm, AC = 12 cm și DE = 4 cm. Determinați raportul de asemănare AB/DE și calculați lungimile segmentelor EF și DF.
3. Se știe că ∆ABC ∼ ∆PQR, ∢A = 50° și ∢Q = 70°. Determinați măsurile unghiurilor B, C, P și R. Justificați fiecare rezultat.
4. Triunghiul ABC are laturile AB = 5 cm, BC = 7 cm și AC = 8 cm. Triunghiul DEF este asemenea cu triunghiul ABC (∆ABC ∼ ∆DEF) și are perimetrul de 50 cm. Arătați că raportul perimetrelor celor două triunghiuri este egal cu raportul de asemănare. Calculați apoi lungimile laturilor DE, EF și DF.
5. În triunghiul ABC se consideră punctele M ∈ AB și N ∈ AC, astfel încât MN ∥ BC. Se știe că AM = 4 cm, MB = 6 cm, BC = 15 cm și AN = 3 cm. Scrieți asemănarea de triunghiuri obținută cu teorema fundamentală a asemănării, apoi calculați lungimile segmentelor MN, AC și NC.
6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. Pe prelungirea laturii BA, dincolo de A, se ia punctul D, iar pe prelungirea laturii CA, dincolo de A, se ia punctul E, astfel încât DE ∥ BC. Se știe că AD = 3 cm. Demonstrați că ∆ADE ∼ ∆ABC, precizând perechile de unghiuri congruente și motivul congruenței lor. Calculați apoi lungimile segmentelor AE și DE.
7. În trapezul ABCD cu bazele AB = 18 cm și CD = 6 cm, diagonalele se intersectează în punctul O. Se știe că AC = 16 cm și BD = 12 cm. Demonstrați că ∆OCD ∼ ∆OAB și calculați lungimile segmentelor OA, OC, OB și OD.
8. Pentru a afla înălțimea unui copac, Andrei procedează astfel. Măsoară umbra copacului pe sol și obține 12 m. Apoi fixează vertical un băț de 1,5 m, astfel încât vârful umbrei bățului să coincidă cu vârful umbrei copacului. Bățul se află la 2 m de vârful umbrei. Razele soarelui sunt considerate paralele, iar copacul și bățul sunt perpendiculare pe sol. Notați cu A vârful umbrei, cu B baza copacului, cu C vârful copacului, cu M baza bățului și cu N vârful bățului. Realizați un desen, justificați asemănarea triunghiurilor AMN și ABC și calculați înălțimea copacului.