Aplicații: distanța de la un punct la un plan, distanța dintre plane paralele și înălțimea corpurilor geometrice
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 10 cm, AD = 6 cm și AA' = 8 cm. Punctul M este situat pe segmentul AB' astfel încât AM = 3·MB'. a) Calculați d(D', (ABC)) și justificați perpendicularitatea folosită. b) Calculați d(C, (ABB')) și justificați. c) Calculați distanța dintre planele (ADD') și (BCC'). d) Construiți perpendiculara din M pe planul (A'B'C') și calculați d(M, (A'B'C')).
2. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC, cu înălțimea VO, O ∈ (ABC). Latura bazei este AB = 9 cm, iar muchia laterală este VA = 3√7 cm. a) Demonstrați că OA ≡ OB ≡ OC. Ce reprezintă punctul O pentru triunghiul ABC? b) Calculați lungimea segmentului AO. c) Calculați înălțimea VO a piramidei. d) Punctul M aparține muchiei VA, iar AM = (1/3)·AV. Calculați distanța de la M la planul (ABC).
3. Se consideră piramida patrulateră regulată SABCD, cu înălțimea SO, O ∈ (ABC), AB = 8 cm și SA = 4√6 cm. a) Explicați de ce O este centrul pătratului ABCD. b) Calculați înălțimea piramidei. c) Prin punctul O' ∈ SO, cu SO' = 2 cm, se construiește un plan α paralel cu baza. Planul α intersectează muchiile SA, SB, SC și SD în punctele A', B', C', respectiv D'. Calculați înălțimea trunchiului de piramidă ABCDA'B'C'D', latura bazei mici și lungimea muchiei laterale AA' a trunchiului.
4. Un con circular drept are generatoarea de 13 cm și raza bazei de 5 cm. a) Scrieți relația dintre generatoare, rază și înălțime și calculați înălțimea conului. b) Conul se secționează cu un plan paralel cu baza, care trece prin mijlocul înălțimii. Calculați raza și aria secțiunii. c) Calculați înălțimea trunchiului de con obținut.
5. Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari de 12 cm, raza bazei mici de 4 cm și înălțimea de 6 cm. a) Calculați generatoarea trunchiului de con. b) Calculați înălțimea conului din care provine trunchiul. c) Calculați generatoarea conului din care provine trunchiul.
6. În prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 6 cm și A'B = 10 cm. Notăm cu O centrul pătratului ABCD. Determinați: a) înălțimea prismei; b) distanța dintre planele (ABB') și (CDD'); c) d(A', (BCC')); d) d(C, (BDD')), după ce demonstrați că CO ⊥ (BDD').
7. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 8 cm și BC = 6 cm, se ridică perpendiculara MA, M ∉ (ABC), cu MA = 6 cm. a) Demonstrați că BC ⊥ (MAB) și calculați d(C, (MAB)). b) Demonstrați că DA ⊥ (MAB) și calculați d(D, (MAB)). c) Calculați lungimea segmentului MC. d) Demonstrați că triunghiul MBC este dreptunghic.
8. Se consideră tetraedrul regulat ABCD, cu muchia de 6 cm. Fie O piciorul perpendicularei din D pe planul (ABC). a) Demonstrați că O este centrul triunghiului echilateral ABC. b) Calculați lungimea înălțimii DO a tetraedrului. c) Câte înălțimi are tetraedrul? Explicați de ce, la tetraedrul regulat, toate înălțimile au aceeași lungime.