Secțiuni în prismă și cilindru (secțiuni paralele cu baza și secțiuni diagonale/axiale)
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră prisma triunghiulară ABCA'B'C' (nu neapărat dreaptă) și punctul M pe muchia AA', cu AM = 1/3 · AA'. Prin M se construiește planul α, paralel cu planul (ABC). a) Descrieți pașii de construcție a secțiunii determinate de planul α în prismă. Notați cu N și P punctele în care α intersectează muchiile BB', respectiv CC'. b) Demonstrați că ABNM este paralelogram și deduceți că BN = AM. c) Demonstrați că triunghiurile MNP și ABC sunt congruente.
2. Prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' are AB = 6 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchiile laterale AA', BB' și CC' în punctele M, N, respectiv P. a) Precizați natura triunghiului MNP și justificați răspunsul. b) Calculați perimetrul secțiunii MNP. c) Calculați aria secțiunii MNP.
3. Prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are AB = 4 cm și AA' = 10 cm. Punctul M aparține muchiei AA', cu AM = 3 cm. Planul care trece prin M și este paralel cu (ABC) intersectează muchiile BB', CC' și DD' în N, P, respectiv R. a) Justificați că MNPR este pătrat și precizați lungimea laturii lui. b) Calculați aria secțiunii MNPR și distanța de la planul secțiunii la planul (A'B'C'). c) Calculați lungimea segmentului MC'.
4. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 10 cm. Prin mijlocul muchiei AA' se duce un plan paralel cu baza ABCD. a) Precizați ce figură este secțiunea obținută și care sunt dimensiunile ei. b) Calculați perimetrul și aria secțiunii. c) Calculați lungimea diagonalei secțiunii.
5. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F' are latura bazei de 4 cm. Un plan paralel cu baza intersectează toate muchiile laterale ale prismei. a) Ce poligon este secțiunea obținută? Justificați răspunsul. b) Calculați perimetrul secțiunii. c) Calculați aria secțiunii.
6. Prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are AB = 3√2 cm și AA' = 8 cm. a) Demonstrați că secțiunea determinată în prismă de planul (ACC') este dreptunghiul ACC'A'. b) Calculați lungimea diagonalei AC a bazei. c) Calculați perimetrul și aria secțiunii ACC'A', precum și lungimea segmentului AC'.
7. Un cilindru circular drept are raza bazei de 4 cm și înălțimea de 6 cm. a) Ce figură se obține la secționarea cilindrului cu un plan paralel cu bazele? Calculați aria ei. b) Secțiunea axială a cilindrului (secțiunea cu un plan care conține axa cilindrului) este un dreptunghi. Precizați dimensiunile acestui dreptunghi. c) Calculați aria și lungimea diagonalei secțiunii axiale.
8. Un trunchi de copac are forma unui cilindru circular drept cu diametrul de 30 cm. Pădurarul îl taie cu un fierăstrău, perpendicular pe axa trunchiului (tăietura este paralelă cu bazele). a) Ce formă are suprafața tăieturii? Justificați răspunsul. b) Calculați aria suprafeței tăieturii. c) Pe marginea tăieturii se vopsește o dungă. Calculați lungimea dungii, folosind π ≈ 3,14.