Elemente ale geometriei în spațiu: puncte, drepte, plane, prisme și piramide (evaluare, remediere, consolidare)

1. Desenați cubul ABCDA'B'C'D'. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecăreia dintre propozițiile de mai jos și justificați pe scurt fiecare răspuns: a) C' ∈ (BCC'); b) A' ∈ (ABC); c) BD ⊂ (ABC); d) A'C' ⊂ (ABB'); e) punctele A, B, C' și D' sunt coplanare; f) AB' ∩ CD' = ∅.

2. Dreptele d₁ și d₂ sunt concurente în punctul O. Punctul A aparține dreptei d₁, punctul B aparține dreptei d₂, iar punctele A și B sunt diferite de O. a) Justificați faptul că dreptele d₁ și d₂ determină un plan, notat α. b) Demonstrați că dreapta AB este inclusă în planul α. c) Se mai consideră o dreaptă d₃ care trece prin O și nu este inclusă în planul α. Câte plane distincte sunt determinate de câte două dintre dreptele d₁, d₂, d₃? Justificați.

3. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu O centrul pătratului ABCD. Punctul M este mijlocul muchiei VB. Desenați piramida și determinați următoarele intersecții, justificând fiecare răspuns: a) (VBC) ∩ (ABC); b) (VBO) ∩ (ABC); c) (VAC) ∩ (VBD); d) VB ∩ (ACD); e) DM ∩ (VAC).

4. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D', cu AB = 5 cm și AA' = 12 cm. a) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor prismei. b) Calculați perimetrul patrulaterului ACC'A'. c) Precizați natura triunghiului B'AC (oarecare, isoscel, echilateral sau dreptunghic) și calculați perimetrul acestuia.

5. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu toate muchiile de lungime 6 cm, și O centrul bazei ABCD. a) Calculați suma lungimilor muchiilor piramidei. b) Calculați lungimea apotemei piramidei. c) Calculați înălțimea VO a piramidei. d) Demonstrați că triunghiul VAC este dreptunghic isoscel.

6. Un obiect decorativ are forma unei piramide triunghiulare regulate SABC, cu baza ABC, în care m(∢ASB) = 40° și SA = 9 cm. a) Calculați măsura unghiului SAB. b) Un fir decorativ pleacă din punctul A, înfășoară fețele laterale ale piramidei, intersectând muchiile SB și SC, și se întoarce în A. Desfășurați suprafața laterală a piramidei și determinați lungimea minimă a firului.

7. O cutie de cadou are forma unui cub. Pentru a o decora, Ana lipește o bandă colorată pe fiecare muchie a cubului și folosește în total 60 cm de bandă, fără resturi și fără suprapuneri. a) Calculați lungimea muchiei cubului. b) Calculați aria unei fețe a cubului. c) Calculați lungimea diagonalei cubului.

8. Un acvariu are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 9 cm, BC = 12 cm și AA' = 12 cm. a) Calculați suma lungimilor muchiilor paralelipipedului (lungimea totală a profilelor metalice ale ramei). b) Calculați perimetrul triunghiului B'AC și precizați natura acestui triunghi. c) Determinați intersecția planelor (A'BC) și (AB'C'). Justificați răspunsul.