Aplicații: secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu AB = 6 cm și AA' = 10 cm. Un plan α, paralel cu planul (ABC), intersectează muchiile AA', BB' și CC' în punctele M, N, respectiv P, iar AM = 4 cm. a) Demonstrați că triunghiul MNP este echilateral. b) Calculați perimetrul și aria triunghiului MNP. c) Calculați distanța dintre planele α și (A'B'C').
2. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 12 cm. Prin mijlocul M al muchiei AA' se construiește un plan paralel cu baza (ABC). Acesta intersectează muchiile BB', CC' și DD' în punctele N, P, respectiv R. a) Stabiliți natura patrulaterului MNPR și justificați răspunsul. b) Calculați aria secțiunii MNPR și lungimea diagonalei MP.
3. Un cilindru circular drept are raza bazei de 5 cm și înălțimea de 12 cm. Se secționează cilindrul cu un plan paralel cu bazele, situat la 4 cm de baza inferioară. a) Ce figură geometrică este secțiunea obținută? Explicați de ce dimensiunile ei nu depind de distanța la care se află planul față de bază. b) Calculați lungimea conturului și aria secțiunii. c) Calculați distanța de la planul secțiunii la baza superioară.
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 12 cm. Pe muchia VA se ia punctul M astfel încât VM = (1/3)·VA. Planul care conține punctul M și este paralel cu baza (ABC) intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele N, P, respectiv R. a) Demonstrați că MN ∥ AB și calculați lungimea segmentului MN. b) Demonstrați că MNPR este pătrat. c) Calculați raportul dintre aria secțiunii MNPR și aria bazei ABCD.
5. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC, cu latura bazei AB = 9 cm și înălțimea VO = 12 cm (O este centrul triunghiului ABC). Un plan paralel cu baza, situat la 4 cm de planul (ABC), intersectează muchiile VA, VB, VC în punctele M, N, P și înălțimea VO în punctul O'. a) Calculați lungimea segmentului VO' și raportul VO'/VO. b) Justificați egalitatea VM/VA = VO'/VO. c) Calculați lungimea laturii și aria triunghiului MNP.
6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu toate muchiile de 10 cm, și O centrul bazei ABCD. Planul care trece prin mijlocul M al muchiei VA și este paralel cu (ABC) intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele N, P, respectiv R. a) Calculați perimetrul secțiunii MNPR. b) Calculați înălțimea VO a piramidei. c) Calculați distanța dintre planul secțiunii și planul bazei.
7. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate, cu latura bazei de 3 m și înălțimea de 2,4 m. În interiorul cortului se montează un raft orizontal în formă de pătrat, ale cărui colțuri ating muchiile laterale ale cortului. Raftul se află la înălțimea de 1,6 m față de sol. a) Explicați de ce raftul reprezintă o secțiune paralelă cu baza piramidei. b) Calculați lungimea laturii raftului. c) Calculați aria raftului și comparați-o cu aria bazei cortului (de câte ori este mai mică?).
8. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 12 cm, înălțimea de 8 cm și muchia laterală VA = 2√34 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchia VA în punctul M, iar secțiunea obținută are aria de 36 cm². a) Calculați latura secțiunii și raportul dintre latura secțiunii și latura bazei. b) Determinați distanța de la planul secțiunii la planul bazei. c) Calculați lungimea segmentului VM și precizați poziția punctului M pe muchia VA.