Aplicații practice, folosind calcule rapide cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Folosind formule de calcul prescurtat, calculați rapid: a) aria unui teren dreptunghiular cu dimensiunile 2008 m și 1992 m; b) aria unei grădini pătratice cu latura de 49 m. Scrieți descompunerea folosită pentru fiecare calcul.
2. O ramă de tablou are conturul exterior în formă de pătrat cu latura de 128 cm. Conturul interior este tot un pătrat, cu latura de 112 cm. Folosind o formulă de calcul convenabil aleasă, calculați aria ramei.
3. O roată decorativă este formată din două discuri cu același centru. Discul mic are raza r cm. Raza discului mare este cu 3 cm mai mare decât raza discului mic. Suprafața dintre cele două cercuri (coroana circulară) se vopsește. a) Exprimați aria coroanei circulare A(r) ca diferență de arii, apoi scrieți-o ca sumă algebrică redusă. b) Descompuneți în factori expresia obținută. c) Pentru vopsirea unei suprafețe de 1 cm² este necesar 1 g de vopsea. Știind că r = 10 cm și că π < 3,1416, verificați dacă 217 g de vopsea sunt suficiente.
4. Un teren are formă de pătrat cu latura de (x + 5) m. Într-un colț al terenului se construiește o piscină în formă de pătrat cu latura de x m. Restul terenului este acoperit cu gazon. a) Exprimați aria suprafeței cu gazon în funcție de x. Scrieți rezultatul ca sumă algebrică redusă, apoi ca produs. b) Calculați aria suprafeței cu gazon pentru x = 8. c) Determinați latura piscinei, știind că suprafața cu gazon are aria de 125 m².
5. Un pătrat are latura de n cm, cu n > 3. Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât latura pătratului și lățimea cu 3 cm mai mică decât latura pătratului. a) Demonstrați că aria pătratului este cu 9 cm² mai mare decât aria dreptunghiului, oricare ar fi n. b) Fără a efectua înmulțirile, precizați rezultatul calculului 47² − 50 · 44. Justificați răspunsul.
6. Fie n un număr natural. a) Demonstrați că (n + 1)² − n² = 2n + 1. b) Folosind rezultatul de la a), calculați diferența dintre pătratele numerelor 351 și 350. c) Știind că 350² = 122 500, calculați rapid 351².
7. Un triunghi dreptunghic are catetele de x cm și (x + 7) cm, iar ipotenuza are 13 cm. a) Scrieți relația dintre laturi dată de teorema lui Pitagora și aduceți-o la forma x² + 7x − 60 = 0. b) Descompuneți în factori expresia x² + 7x − 60, folosind identitatea (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab, și determinați x. c) Calculați perimetrul triunghiului.
8. Un fermier are 40 m de gard și vrea să împrejmuiască o suprafață dreptunghiulară. Notăm cu x lungimea (în m) a uneia dintre laturile dreptunghiului. a) Exprimați cealaltă latură și aria A(x) a dreptunghiului în funcție de x. b) Demonstrați că A(x) = 100 − (x − 10)². c) Determinați aria maximă pe care o poate împrejmui fermierul și dimensiunile dreptunghiului în acest caz.