Descompunerea în factori, folosind formule de calcul prescurtat
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Descompuneți în factori, folosind formule de calcul prescurtat: a) x² + 14x + 49; b) 25y² − 20y + 4; c) 36 − a²b².
2. Completați termenul care lipsește, astfel încât să obțineți pătratul unui binom. Scrieți apoi expresia obținută ca pătrat al unui binom: a) 16x² − 24x + ...; b) 49a² + ... + 1 (termenul lipsă are coeficient pozitiv); c) ... − 12y + 4.
3. Descompuneți în factori diferențele de pătrate: a) 9x⁴ − 49y²; b) 0,25 − x²; c) x² − 5; d) 3a² − 7.
4. Descompuneți în factori expresiile: a) (x + 4)² − 9; b) (2a − 1)² − (a + 3)²; c) (y − 3)² + 6(y − 3) + 9.
5. Utilizând formule de calcul prescurtat, calculați: a) 103² − 97²; b) 57² − 2 · 57 · 7 + 7²; c) 38² + 2 · 38 · 12 + 12²; d) 1001² − 1 (scrieți rezultatul mai întâi ca produs de două numere naturale, apoi calculați produsul).
6. Stabiliți dacă expresiile de mai jos se pot scrie ca pătratul unui binom. Justificați răspunsul. Acolo unde este posibil, scrieți expresia ca pătrat al unui binom: a) 9x² + 15x + 25; b) 4x² − 4√3x + 3; c) x² − x + 1/4.
7. a) Aria unui pătrat este egală cu (x² + 12x + 36) cm², unde x este un număr real pozitiv. Exprimați latura pătratului în funcție de x. Calculați perimetrul pătratului pentru x = 4. b) Aria unui dreptunghi este egală cu (4x² − 25) cm², unde x > 2,5. Dimensiunile dreptunghiului sunt exprimate prin binoame de gradul întâi în x, obținute prin descompunerea ariei în factori. Determinați aceste dimensiuni și arătați că diferența dintre lungime și lățime nu depinde de x.
8. Demonstrați că diferența dintre pătratul unui număr natural impar și pătratul numărului impar care îl precedă este un număr divizibil cu 8. (Indicație: notați numerele cu 2n + 1 și 2n + 3, unde n ∈ ℕ.)