Drepte paralele. Unghiul a două drepte
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Precizați poziția relativă (paralele, concurente sau necoplanare) a fiecărei perechi de drepte și justificați pe scurt: a) AA' și CC'; b) AB și CC'; c) A'D' și DD'; d) BD și B'D'; e) AC și B'D'; f) A'B și D'C.
2. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații de mai jos, în geometria în spațiu. Justificați fiecare răspuns printr-un argument sau printr-un contraexemplu luat dintr-un cub ABCDA'B'C'D'. a) Două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele. b) Dacă a, b, c sunt drepte distincte, a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c. c) Două drepte distincte, perpendiculare pe aceeași dreaptă, sunt paralele. d) Măsura unghiului dintre două drepte necoplanare poate fi 0°.
3. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determinați măsurile următoarelor unghiuri, precizând de fiecare dată ce paralelă ați folosit: a) ∢(AD, B'C'); b) ∢(AB, DD'); c) ∢(A'C', BC); d) ∢(BC', A'D); e) ∢(A'B, B'D').
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu toate muchiile congruente, și O centrul bazei ABCD. Determinați măsurile unghiurilor: a) ∢(VB, AD); b) ∢(VC, AB); c) ∢(VB, VD); d) ∢(CD, AB); e) ∢(VO, BD).
5. În tetraedrul regulat ABCD, cu muchia de 8 cm, punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AB, AC, respectiv AD. a) Demonstrați că MN ∥ BC și MP ∥ BD. b) Calculați perimetrul triunghiului MNP. c) Determinați măsurile unghiurilor ∢(MN, CD) și ∢(MP, BC).
6. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 6 cm. Determinați: a) măsura unghiului dintre dreptele A'B și CD; b) tangenta unghiului dintre dreptele AC și A'D'; c) tangenta unghiului dintre dreptele B'D și CC'.
7. În prisma triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' se cunosc ∢BAC = 60° și ∢ABC = 70°. a) Justificați faptul că A'B' ∥ AB și B'C' ∥ BC. b) Folosind teorema unghiurilor cu laturile respectiv paralele, determinați măsura unghiului A'B'C'. c) Determinați măsurile unghiurilor ∢(AC, B'C') și ∢(A'B', AC).
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu podeaua ABCD, AB = 4 m, BC = 3 m și înălțimea AA' = 2,5 m. Un electrician întinde un cablu în linie dreaptă de la colțul A al podelei la colțul C' al tavanului. a) Precizați poziția relativă a dreptelor A'B' (o muchie a tavanului) și CD (o muchie a podelei). Justificați. b) Calculați tangenta unghiului dintre muchia tavanului A'B' și diagonala podelei AC. c) Calculați tangenta unghiului dintre cablul AC' și muchia verticală DD'.