Axiome despre puncte, drepte și plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În sala de clasă notăm cu π planul podelei. P este un colț al podelei, d este dreapta corespunzătoare unei margini a podelei, iar L este punctul în care becul este prins de tavan. Piciorul unui scaun este așezat pe podea și corespunde dreptei m, iar T este punctul în care acest picior atinge podeaua. Scrieți cu simbolurile matematice (∈, ∉, ⊂, ⊄, ∩) relațiile dintre: a) P și π; b) L și π; c) d și π; d) m și π, inclusiv intersecția lor. Cum se numește poziția dreptei m față de planul π?
2. Demonstrați, folosind axioma dreptei, că două drepte distincte nu pot avea două puncte distincte comune. Ce puteți spune despre numărul maxim de puncte comune a două drepte distincte?
3. În planul α sunt situate punctele M, N, P și Q, iar punctele M, N și Q sunt coliniare. Punctul R nu aparține planului α. Stabiliți care dintre notațiile următoare pot fi folosite pentru planul α și justificați fiecare răspuns: (MNP), (MNQ), (MPQ), (NPQ), (MNR).
4. Planele distincte α și β au în comun punctele A, B și C. Ce puteți afirma despre poziția punctelor A, B și C? Justificați răspunsul folosind axiomele studiate și precizați ce reprezintă mulțimea α ∩ β.
5. Se consideră patru puncte necoplanare A, B, C și D. a) Câte drepte distincte sunt determinate de câte două dintre aceste puncte? Scrieți-le. b) Câte plane distincte sunt determinate de câte trei dintre aceste puncte? Scrieți-le. c) Justificați de ce oricare trei dintre cele patru puncte sunt necoliniare.
6. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații și justificați răspunsul: a) Prin două puncte distincte trece un singur plan. b) Prin oricare trei puncte distincte trece un singur plan. c) Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci dreapta este inclusă în acel plan. d) Două plane distincte pot avea un singur punct comun.
7. Un taburet cu trei picioare stă întotdeauna stabil, chiar și pe o podea denivelată, pe când o masă cu patru picioare se poate „clătina” pe aceeași podea. Explicați matematic această observație. Folosiți noțiunile de puncte necoliniare și puncte necoplanare și axiomele studiate.
8. Punctele necoliniare A, B și C aparțin planului α, iar punctul D nu aparține planului α. Fie M mijlocul segmentului AB. a) Demonstrați că M ∈ α. b) Este dreapta DM inclusă în planul α? Precizați intersecția dintre dreapta DM și planul α. c) Arătați că punctele A, B, C și D sunt necoplanare.