Calcul algebric în ℝ: evaluare, remediere, consolidare, aprofundare

1. Calculați, folosind formulele de calcul prescurtat, și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: a) (2x − 3)² − (2x + 1)(2x − 1); b) (x + 4)² − (x − 1)(x + 5).

2. Descompuneți în factori expresiile: a) 3x³ − 27x; b) x² − 7x + 12; c) 2x² + 7x + 3; d) x³ + 3x² − 4x − 12.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) x² − 5x − 14 = 0; b) 3x² + 5x − 2 = 0; c) x² + 2x + 5 = 0; d) 4x² − 20 = 0.

4. Precizați condițiile de existență, apoi simplificați fracțiile: a) (x² − 9) / (x² + 6x + 9); b) (x² − 5x + 6) / (x² − 4); c) (x³ − 4x) / (x² + 2x).

5. Precizați condițiile de existență, apoi calculați: a) 1/(x − 2) + 3/(x + 2) − 12/(x² − 4); b) (x² − 1)/(x + 3) : (x − 1)/(x² + 3x).

6. Se consideră expresia E(x) = [ (x + 1)/(x − 2) − (x − 1)/(x + 2) ] : 2x/(x − 2). a) Determinați valorile reale ale lui x pentru care expresia este bine definită. b) Arătați că E(x) = 3/(x + 2). c) Determinați numerele întregi x pentru care E(x) este număr întreg. d) Rezolvați inecuația E(x) ≥ 1.

7. a) Arătați că expresia E(x) = x² − 6x + 13 se poate scrie sub forma (x − 3)² + 4. Determinați valoarea minimă a expresiei și valoarea lui x pentru care este atinsă. b) Determinați valoarea maximă a raportului 8 / (x² + 4x + 6), x ∈ ℝ, și precizați pentru ce valoare a lui x este atinsă.

8. Un dreptunghi are perimetrul de 22 m și aria de 30 m². Notați cu x lungimea unei laturi a dreptunghiului. Scrieți ecuația de gradul al doilea care modelează situația, rezolvați-o, aflați dimensiunile dreptunghiului și calculați lungimea diagonalei acestuia.