Ecuații de gradul al doilea de forma ax² + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți care dintre următoarele ecuații sunt ecuații de gradul al doilea în necunoscuta x. Pentru acestea, scrieți coeficienții a, b și c. Pentru celelalte, explicați de ce nu sunt de gradul al doilea. a) 3x² − 7x + 2 = 0; b) −x² + 4 = 0; c) 5x − x² = 0; d) 2x³ + x² − 1 = 0; e) (x − 1)² = x² + 3.
2. Verificați prin calcul dacă x = −2 este soluție a fiecăreia dintre ecuațiile de mai jos. Scrieți calculul și concluzia. a) x² + 5x + 6 = 0; b) 2x² − x − 6 = 0; c) x² − 4 = 0; d) (x + 3)² − 1 = 0.
3. Rezolvați în ℝ ecuațiile de mai jos. Pentru fiecare ecuație, parcurgeți etapele: identificarea coeficienților, calculul discriminantului Δ, interpretarea semnului lui Δ și, după caz, calculul soluțiilor. a) x² − 8x + 15 = 0; b) 4x² + 4x + 1 = 0; c) 2x² − 3x + 5 = 0; d) 3x² + 5x − 2 = 0; e) x² − 2x − 1 = 0. Folosind soluțiile găsite, descompuneți apoi în factori expresiile x² − 8x + 15 și 3x² + 5x − 2, cu formula ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
4. Rezolvați în ℝ ecuațiile, fără a calcula discriminantul. Folosiți descompunerea în factori sau cazurile particulare (b = 0 sau c = 0). a) 6x² − 18x = 0; b) 9x² − 49 = 0; c) (2x + 1)² − 16 = 0; d) 3x² + 12 = 0.
5. Scrieți câte o ecuație de gradul al doilea, sub forma ax² + bx + c = 0, care să aibă soluțiile: a) x₁ = 2, x₂ = −7; b) x₁ = −4, x₂ = 4; c) x₁ = 0, x₂ = −3/2 (cu toți coeficienții numere întregi); d) x₁ = 3 − √3, x₂ = 3 + √3.
6. Aduceți ecuațiile la forma ax² + bx + c = 0, apoi rezolvați-le în ℝ: a) x(x − 2) = 15; b) (x + 1)² = 3x + 7; c) (2x − 1)(x + 2) = 3x + 2.
7. Ecuația 3x² + mx − 10 = 0, cu necunoscuta x ∈ ℝ, are soluția x = 2. a) Determinați numărul real m. b) Pentru valoarea găsită a lui m, rezolvați ecuația și aflați cealaltă soluție.
8. O grădină are forma unui dreptunghi. Lungimea ei este cu 3 m mai mare decât lățimea, iar aria este de 40 m². a) Notați cu x lățimea grădinii și scrieți ecuația care modelează problema. b) Rezolvați ecuația și precizați care soluție convine problemei. Justificați. c) Aflați dimensiunile grădinii și lungimea gardului necesar pentru a o împrejmui complet.