Calcul algebric în ℝ: evaluare, remediere, consolidare și aprofundare

1. Calculați și scrieți rezultatul în forma cea mai simplă: a) 3(2x − y) − 2(x − 4y) + (x − 5y); b) (15x³ − 10x² + 5x) : (5x), unde x ≠ 0; c) 2x(4x − 3) − (2x + 1)(4x − 5).

2. Calculați folosind formulele de calcul prescurtat: a) (3x − 4)²; b) (5x + 2)(5x − 2); c) (x + 3)² − (x − 3)²; d) (√2·x − 3)².

3. Descompuneți în factori expresiile. Precizați metoda folosită la fiecare: factor comun, formule de calcul prescurtat, grupare de termeni sau o combinație a acestora. a) 6x³ − 24x; b) 16x² + 40x + 25; c) x² − 7x + 12; d) x³ + 3x² − 4x − 12.

4. Descompuneți în factori: a) (2x + 1)² − 9; b) 4x² − (x − 3)²; c) x² − 2√5·x + 5; d) 2x² + 7x + 3.

5. Calculați numărul a = √[(2 + √5)² + (√5 − 3)² + 2(√5 + 1)]. Scrieți rezolvarea completă și precizați dacă a este număr natural.

6. Arătați că numărul N = (x2)·(x4) + 1 este pătratul unui număr natural, oricare ar fi cifra nenulă x din baza zece. Aici (x2) și (x4) sunt numere de două cifre scrise în baza zece: x este cifra zecilor, iar 2, respectiv 4, este cifra unităților. Scrieți rezolvarea completă.

7. Se consideră expresia E(x) = (x + 2)² − (x − 1)(x + 1) − 2(x − 3), unde x ∈ ℝ. a) Arătați că E(x) = 2x + 11, pentru orice x ∈ ℝ. b) Calculați E(0) și E(−3). c) Demonstrați că E(n) este număr impar, oricare ar fi n număr natural. d) Arătați că S = E(−5) + E(−4) + E(−3) + E(−2) + E(−1) + E(0) este pătratul unui număr natural. e) Determinați numerele reale x pentru care E(x) ≤ 3 și scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval.

8. a) Determinați valoarea minimă a expresiei E(x) = 3x² − 12x + 17, x ∈ ℝ, și precizați pentru ce valoare a lui x este atinsă. b) Numerele reale x și y verifică relația x² + y² + 2x − 8y + 17 = 0. Determinați x și y, apoi calculați x²⁰²⁵ + y.