Calcularea unor distanțe în spațiu

1. Pe planul pătratului ABCD, cu latura AB = 8 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 6 cm. Realizează desenul și calculează: a) distanța de la punctul M la dreapta CD; b) distanța de la punctul M la dreapta BD. Justifică, folosind teorema celor trei perpendiculare, care sunt segmentele ce reprezintă aceste distanțe.

2. ABCDA′B′C′D′ este un cub cu muchia AB = 12 cm. a) Arată că D′C ⊥ BC și calculează distanța de la punctul D′ la dreapta BC. b) Calculează distanța de la punctul D la planul (D′BC). Justifică de ce perpendiculara din D pe D′C este perpendiculară pe planul (D′BC).

3. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Calculează distanța de la vârful V la dreapta BC. b) Construiește perpendiculara OH pe VM, cu H ∈ VM, demonstrează că OH ⊥ (VBC) și calculează distanța de la punctul O la planul (VBC).

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 9 cm și AD = 12 cm. În punctul A se ridică perpendiculara MA pe planul dreptunghiului, cu MA = 9,6 cm. Notăm cu E piciorul perpendicularei din A pe diagonala BD. a) Calculează lungimea segmentului AE. b) Demonstrează că ME ⊥ BD și calculează distanța de la punctul M la dreapta BD.

5. ABCA′B′C′ este o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 8 cm. Punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor AA′, BB′, respectiv CC′. a) Arată că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele și calculează distanța dintre ele. b) Calculează distanța de la punctul C′ la dreapta AB.

6. ABCDA′B′C′D′ este un cub cu muchia de 10 cm. a) Arată că dreapta A′B′ este paralelă cu planul (ABC′D′). b) Calculează distanța de la dreapta A′B′ la planul (ABC′D′). Indicație: arată mai întâi că A′D ⊥ (ABC′D′).

7. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu podeaua ABCD, lungimea AB = 6 m, lățimea BC = 4 m și înălțimea AA′ = 3 m. O lustră este fixată în centrul O′ al tavanului A′B′C′D′. a) Calculează distanța de la lustră la marginea podelei reprezentată de dreapta AB. b) Calculează distanța de la lustră la colțul A al podelei. Explică modul în care ai construit segmentele care reprezintă distanțele.

8. Un con circular drept are vârful V, centrul bazei O, raza bazei de 10 cm și înălțimea VO = 12 cm. Pe cercul bazei se iau punctele B și C astfel încât unghiul la centru BOC să aibă măsura de 120°. a) Precizează distanța de la punctul V la planul bazei. b) Calculează distanța de la punctul O la coarda BC. c) Calculează distanța de la punctul V la dreapta BC, justificând construcția cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare.