Măsura unghiului a două drepte în spațiu

1. a) Dreptele a și b sunt concurente în punctul O și formează un unghi cu măsura de 140°. Ce măsură are ∢(a; b)? Justifică. b) Dreptele d₁ și d₂ sunt necoplanare. Dreapta d₃ este paralelă cu d₁ și intersectează dreapta d₂, formând cu aceasta un unghi de 75°. Ce măsură are ∢(d₁; d₂)? Justifică.

2. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Determină măsurile unghiurilor și justifică fiecare răspuns: a) ∢(AB; D′C′); b) ∢(AA′; CD); c) ∢(A′D; B′C).

3. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Determină măsurile unghiurilor: a) ∢(A′C′; AB); b) ∢(AC; B′D′); c) ∢(BD; B′C). Pentru fiecare unghi, precizează paralela pe care ai construit-o și triunghiul în care ai calculat unghiul.

4. ABCD este un tetraedru regulat. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv AC. Determină măsurile unghiurilor: a) ∢(MN; BC); b) ∢(MN; CD); c) ∢(MN; BD). Justifică.

5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile de 6 cm. Determină măsurile unghiurilor: a) ∢(VA; CD); b) ∢(VB; AD); c) ∢(VA; VC). Indicație pentru punctul c): calculează lungimea diagonalei AC și analizează triunghiul VAC.

6. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu AB = 10 cm și VA = 13 cm. Calculează sinusul și tangenta unghiului dintre dreptele VA și BC.

7. ABCDA′B′C′D′ este un paralelipiped dreptunghic cu AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 8√3 cm. Calculează: a) tangenta unghiului dintre dreptele A′C′ și AD; b) tangenta unghiului dintre dreptele B′D′ și AB; c) măsura unghiului dintre dreptele A′B și DC.

8. O cameră are forma unui cub ABCDA′B′C′D′, cu podeaua ABCD. O bandă luminoasă este lipită pe podea, de-a lungul diagonalei AC. O altă bandă este lipită pe peretele BCC′B′, de-a lungul diagonalei BC′. Realizează un desen al situației și determină măsura unghiului dintre dreptele pe care sunt așezate cele două benzi. Justifică demersul de rezolvare.