Calcularea unor distanțe pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm. a) Calculați lungimea diagonalei AC′ a cubului. b) Arătați că dreapta A′D′ este perpendiculară pe planul (ABB′A′). Apoi calculați distanța de la punctul B la dreapta A′D′.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 3 cm, BC = 4 cm și diagonala AC′ = 13 cm. a) Calculați înălțimea AA′ a paralelipipedului. b) Calculați distanța de la punctul A′ la dreapta BD, folosind teorema celor trei perpendiculare.
3. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Fie E mijlocul muchiei BC. a) Calculați lungimea apotemei VE a piramidei. b) Calculați distanța de la punctul O la planul (VBC). c) Calculați distanța de la punctul A la planul (VBC). Justificați fiecare pas.
4. Tetraedrul regulat VABC are muchia de 6 cm, iar O este centrul bazei ABC. a) Calculați lungimea segmentului OA și înălțimea VO a tetraedrului. b) Calculați distanța de la punctul O la muchia laterală VA.
5. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 6 cm și AA′ = 8 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Calculați lungimea diagonalei AB′ a feței laterale ABB′A′. b) Demonstrați că A′M ⊥ BC. c) Calculați distanța de la punctul A′ la dreapta BC.
6. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are latura bazei AB = 4 cm și muchia laterală AA′ = 4 cm. a) Demonstrați că AC ⊥ CD și calculați lungimea segmentului AC. b) Calculați distanța de la punctul A′ la dreapta CD. c) Calculați lungimea segmentului A′D.
7. Un con circular drept are vârful V, centrul bazei O, raza bazei OA = 6 cm și înălțimea VO = 8 cm. a) Calculați lungimea generatoarei VA. b) Calculați distanța de la centrul bazei O la generatoarea VA. c) Ce fracție din lungimea generatoarei reprezintă distanța de la punctul b)?
8. O cutie de carton are forma unui paralelipiped dreptunghic. Dimensiunile ei interioare sunt 30 cm, 40 cm și 120 cm. a) Calculați lungimea maximă a unei tije subțiri și rigide care poate fi așezată în cutie, cu cutia închisă. b) Stabiliți, argumentat, dacă în cutie încape o tijă de 1,25 m și dacă încape una de 1,4 m.