Sfera. Aria și volumul sferei

1. Un semicerc cu diametrul AB = 10 cm și centrul O se rotește complet în jurul dreptei AB. a) Numiți corpul geometric obținut. Precizați centrul și raza lui. b) Punctele M, N și P din spațiu se află la distanțele OM = 5 cm, ON = 3,5 cm și OP = 6,2 cm. Stabiliți, pentru fiecare punct, dacă este situat pe sferă, în interiorul sferei sau în exteriorul ei. Justificați. c) Planele α, β și γ se află la distanțele 7 cm, 5 cm, respectiv 2 cm de punctul O. Precizați poziția fiecărui plan față de sferă (exterior, tangent sau secant) și descrieți intersecția lui cu sfera.

2. Notăm cu R raza unei sfere, cu A aria sferei și cu V volumul corpului sferic. Calculați mărimile lipsă în fiecare caz: a) R = 6 cm; b) A = 100π cm²; c) V = 972π cm³.

3. O sferă cu raza de 13 cm este secționată de un plan situat la distanța de 5 cm față de centrul sferei. Calculați: a) aria sferei; b) raza cercului de secțiune; c) lungimea cercului de secțiune și aria discului de secțiune.

4. Un plan secționează o sferă după un cerc cu lungimea de 8π cm. Distanța de la centrul sferei la planul de secțiune este de 3 cm. Determinați raza sferei, aria sferei și volumul corpului sferic.

5. Punctele A, B, C se află pe o sferă de centru O. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Distanța de la centrul O la planul (ABC) este de 12 cm. a) Precizați unde se află proiecția punctului O pe planul (ABC). Justificați. b) Calculați raza sferei. c) Calculați aria sferei.

6. O sferă are raza de 3 cm. a) Calculați aria și volumul acestei sfere. b) Raza sferei se mărește de 3 ori. Calculați aria și volumul noii sfere. c) Precizați de câte ori a crescut aria și de câte ori a crescut volumul. Formulați o concluzie generală: ce se întâmplă cu aria și cu volumul unei sfere când raza se mărește de k ori?

7. O bilă metalică cu raza de 6 cm se topește, fără pierderi de material. a) Calculați volumul bilei. b) Determinați câte bile cu raza de 2 cm se pot obține din materialul rezultat. c) Dacă, în loc de bile mici, din același material se toarnă un cilindru circular drept cu raza bazei de 4 cm, calculați înălțimea cilindrului.

8. Un vas decorativ are forma unei semisfere cu raza interioară de 20 cm. a) Calculați capacitatea vasului, în cm³ (rezultatul se lasă în funcție de π). b) Vasul poate fi umplut cu apă doar până la 90% din capacitatea sa. Decideți, argumentat, dacă în vas se pot turna 15 litri de apă. Folosiți aproximarea π ≈ 3,14. c) Calculați aria suprafeței curbe a vasului (fără grosimea pereților).