Calcularea unor măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor studiate
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm. Calculați: a) măsura unghiului format de dreapta AB′ cu planul (ABC); b) sinusul unghiului format de diagonala A′C cu planul (ABC); c) măsura unghiului format de dreptele AB′ și BC′. Indicație pentru c): folosiți o paralelă la AB′ care trece prin C′.
2. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm, unde O este centrul bazei. Calculați: a) măsura unghiului format de planul (VBC) cu planul bazei; b) sinusul unghiului format de muchia laterală VA cu planul bazei.
3. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 10 cm. Calculați: a) măsura unghiului format de diagonala BD′ cu planul (ABC); b) tangenta unghiului format de planele (A′BC) și (ABC). Justificați care este unghiul plan al diedrului.
4. Un con circular drept are raza bazei de 5 cm și înălțimea de 5√3 cm. Calculați: a) măsura unghiului format de o generatoare cu planul bazei; b) măsura unghiului format de o generatoare cu înălțimea conului; c) Precizați ce fel de triunghi este secțiunea axială a conului. Justificați răspunsul.
5. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 3 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Demonstrați că A′M ⊥ BC. b) Calculați măsura unghiului format de planele (A′BC) și (ABC).
6. Tetraedrul regulat ABCD are muchia de 6 cm, iar E este mijlocul muchiei BC. a) Demonstrați că dreptele AD și BC sunt perpendiculare. Indicație: arătați că BC ⊥ (ADE). b) Calculați cosinusul unghiului format de planele (DBC) și (ABC).
7. Acoperișul unui foișor are forma unei piramide patrulatere regulate, cu baza un pătrat cu latura de 8 m și înălțimea de 3 m. Calculați: a) lungimea apotemei acoperișului, adică înălțimea unei fețe laterale corespunzătoare laturii bazei; b) tangenta unghiului format de o față a acoperișului cu planul orizontal al bazei. Exprimați rezultatul și sub formă de fracție zecimală.
8. Un cilindru circular drept are raza bazei de 3 cm și generatoarea de 6√3 cm. Calculați: a) măsura unghiului format de o diagonală a secțiunii axiale cu planul bazei; b) măsura unghiului ascuțit format de diagonalele secțiunii axiale.