Calculul distanței de la un punct la un plan. Calculul distanței dintre două plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel ABC, cu m(∢A) = 90° și AB = AC = 6√2 cm, se ridică perpendiculara AP, cu AP = 6√3 cm. Notăm cu D mijlocul segmentului BC. a) Calculează lungimea segmentului AD. b) Demonstrează că PD ⊥ BC. c) Calculează distanța d(A, (PBC)).
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. Notăm AC ∩ BD = {O}. Calculează: a) d(A', (ABC)); b) distanța dintre planele (ABC) și (A'B'C'); c) d(A, (BDD')), justificând de ce AO este perpendiculară pe planul (BDD'); d) d(A, (A'BD)).
3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 6√3 cm. Calculează: a) d(A, (BDD')); b) d(A, (A'BC)), precizând construcția perpendicularei din A pe planul (A'BC) și justificând-o.
4. Piramida patrulateră regulată VABCD are vârful V, latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Calculează apotema VM a piramidei. b) Calculează d(O, (VBC)). c) Explică de ce d(A, (VBC)) = d(N, (VBC)), unde N este mijlocul muchiei AD, apoi calculează d(A, (VBC)).
5. Piramida triunghiulară regulată VABC are vârful V, latura bazei AB = 12 cm și muchia laterală VA = 4√6 cm. a) Arată că înălțimea piramidei are lungimea VO = 4√3 cm. b) Punctul M aparține muchiei VA, astfel încât VM/MA = 1/3. Prin M se construiește un plan α paralel cu planul (ABC). Calculează distanța dintre planele α și (ABC).
6. Un stâlp vertical este ancorat cu patru cabluri întinse, care pornesc din vârful stâlpului și sunt fixate în sol în vârfurile unui pătrat cu latura de 8 m. Baza stâlpului se află în centrul pătratului. Fiecare cablu formează cu planul solului un unghi de 45°. a) Realizează un desen care modelează situația și precizează ce reprezintă înălțimea stâlpului în limbaj geometric (distanța de la un punct la un plan). b) Calculează înălțimea stâlpului. c) Calculează lungimea unui cablu.
7. Pe planul pătratului ABCD, cu AB = 8 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 8 cm. a) Demonstrează că BC ⊥ (MAB). b) Calculează d(C, (MAB)). c) Calculează d(A, (MBC)). d) Calculează d(D, (MBC)), justificând răspunsul.
8. Planele α și β sunt paralele. Segmentul AB are capătul A în planul α și capătul B în planul β. Știind că AB = 10 cm și că dreapta AB formează cu planul β un unghi de 30°: a) Scrie definiția distanței dintre două plane paralele. b) Calculează distanța dintre planele α și β. c) Calculează distanța de la mijlocul M al segmentului AB la fiecare dintre cele două plane.