Perpendicularitate: drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. a) Indică fețele cubului pe care este perpendiculară dreapta DD'. b) Indică fețele cubului pe care este perpendiculară dreapta BC. c) Scrie toate muchiile cubului care sunt perpendiculare pe dreapta AB. Precizează care dintre ele sunt concurente cu AB și care sunt necoplanare cu AB.
2. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Folosind teorema dreptei perpendiculare pe un plan, demonstrează că AB ⊥ (BCC'). Scrie ipoteza, concluzia și justifică fiecare pas al raționamentului.
3. a) Calculează lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 4 cm, 4 cm și 7 cm. b) Diagonala unui cub are lungimea de 5√3 cm. Calculează lungimea muchiei cubului. Scrie formula folosită și explică de ce se poate aplica teorema lui Pitagora în triunghiul care conține diagonala.
4. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 8 cm, AC = 6 cm și BC = 10 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AP, cu AP = 12 cm. Notăm cu M mijlocul segmentului BC. Calculează lungimile segmentelor PB, PC și PM. Justifică de ce triunghiurile PAB, PAC și PAM sunt dreptunghice.
5. Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 4 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 4 cm. a) Calculează lungimile segmentelor MB, MD și MC. b) Demonstrează că BC ⊥ (MAB). Deduce de aici că triunghiul MBC este dreptunghic în B.
6. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu AB = 6 cm și AA' = 3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Explică de ce AA' ⊥ AM. b) Calculează lungimea segmentului AM. c) Calculează lungimea segmentului A'M.
7. Un catarg vertical OV, cu înălțimea de 12 m, este fixat pe un teren orizontal plan, în punctul O. Din vârful V pornesc două cabluri întinse, prinse de sol în punctele A și B, astfel încât OA = 5 m și OB = 9 m. Modelează situația printr-o configurație geometrică. Explică de ce VO ⊥ OA și VO ⊥ OB, apoi calculează lungimile cablurilor VA și VB.
8. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și argumentează răspunsul. a) „Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte paralele conținute într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan.” (Pentru argumentare poți folosi un cub ABCDA'B'C'D'.) b) „Dacă dreapta d este perpendiculară pe planul α, iar planul α este paralel cu planul β, atunci d este perpendiculară pe planul β.”