Recapitulare: perpendicularitate în spațiu, distanțe și calcule în corpuri geometrice
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Completează spațiile punctate, apoi justifică fiecare răspuns printr-o propoziție. a) Dacă dreptele distincte d₁ și d₂ sunt perpendiculare pe planul α, atunci dreptele d₁ și d₂ sunt ... b) Dacă dreapta d este perpendiculară pe planul α, iar planul α este paralel cu planul β, atunci dreapta d și planul β sunt ... c) În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', dreapta AA' este ... pe planul (ABC). Unghiul dintre dreptele AA' și BD are măsura de ...
2. Diagonala unui cub are lungimea de 6√3 cm. a) Calculează lungimea muchiei cubului. b) Calculează aria totală a cubului. Scrie toate etapele rezolvării.
3. O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 6 dm, 4 dm și 2√5 dm. Andrei vrea să așeze în cutie o baghetă rigidă, foarte subțire, cu lungimea de 8,5 dm. a) Calculează lungimea diagonalei cutiei. b) Stabilește dacă bagheta încape în cutie (capacul fiind închis). Justifică răspunsul prin calcul, fără a folosi aproximări ale radicalilor.
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu vârful V. Toate muchiile piramidei au lungimea de 6 cm. Notăm cu O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD, iar cu M mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea înălțimii VO a piramidei. b) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. Justifică de ce triunghiul VOA este dreptunghic.
5. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 4 cm și BC = 3 cm, se ridică perpendiculara EA, cu EA = 12 cm. a) Calculează distanța dintre punctele E și C. b) Demonstrează că EB ⊥ BC, precizând teorema folosită. c) Calculează distanța de la punctul E la dreapta BC.
6. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D', cu muchia de 6 cm. Notăm cu O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Calculează lungimea segmentului A'O. b) Demonstrează că dreapta BD este perpendiculară pe planul (ACC'). c) Calculează distanța de la punctul B la planul (ACC').
7. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu latura bazei AB = 4√3 cm și muchia laterală AA' = 8 cm. Punctul D este mijlocul muchiei AC. a) Calculează lungimea segmentului BD. b) Calculează lungimea segmentului B'D. c) Calculează volumul prismei.
8. Se consideră piramida triunghiulară regulată SABC, cu vârful S, latura bazei AB = 12 cm și înălțimea SO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Notăm cu D mijlocul muchiei BC. a) Arată că SA = 8 cm. b) Demonstrează că dreptele BC și SA sunt perpendiculare. c) Calculează lungimea apotemei SD a piramidei.