Cilindrul circular drept și conul circular drept: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Precizează ce corp geometric (cilindru circular drept sau con circular drept) sugerează fiecare dintre obiectele următoare: a) o cutie de conserve; b) un coif de petrecere; c) cornetul unei înghețate; d) o lumânare groasă, nefolosită; e) un con de semnalizare rutieră (fără bază pătrată); f) un tub de carton de la un rulou de hârtie. Pentru două dintre obiecte, numește elementul corpului geometric (bază, vârf, generatoare, suprafață cilindrică sau conică) pe care îl poți arăta direct pe obiect.
2. Completează spațiile punctate astfel încât afirmațiile să fie adevărate: a) Bazele unui cilindru circular drept sunt două cercuri de raze .... . b) Un con circular drept are .... bază (bazele). c) Segmentul care unește vârful conului cu un punct situat pe cercul bazei se numește .... conului. d) Toate generatoarele unui cilindru circular drept sunt .... . e) Prin desfășurarea suprafeței cilindrice a unui cilindru circular drept se obține un .... . f) Prin desfășurarea suprafeței conice a unui con circular drept se obține un .... de cerc. g) Triunghiul format de vârful unui con circular drept și o coardă a bazei este un triunghi .... .
3. a) Desenează un cilindru circular drept. Notează cu O centrul bazei inferioare și cu O′ centrul bazei superioare. b) Construiește pe baza inferioară punctele distincte M, N și P, astfel încât M și N să fie diametral opuse. Construiește pe baza superioară punctele M′, N′ și P′, astfel încât MM′, NN′ și PP′ să fie generatoare ale cilindrului. c) Stabilește dacă relațiile următoare sunt adevărate sau false: i) MM′ = PP′; ii) M′N′ = MN; iii) OM = O′P′; iv) MN′ = MM′. d) Determină (MNN′) ∩ (M′N′P′) și (OO′M) ∩ (OO′P). e) Raza bazei cilindrului este de 2,5 cm, iar generatoarea are 12 cm. Precizează ce fel de patrulater este MNN′M′ și calculează lungimea segmentului MN′.
4. Un cilindru circular drept are raza bazei de 6 cm și generatoarea de 10 cm. Suprafața cilindrică se desfășoară în plan. a) Ce figură geometrică se obține prin desfășurarea suprafeței cilindrice? b) Determină lungimile laturilor acestei figuri. c) Calculează perimetrul și aria acestei figuri. d) Desenează o posibilă desfășurare completă a cilindrului (suprafața cilindrică și cele două baze), folosind o scară convenabilă.
5. Prin desfășurarea suprafeței cilindrice a unui cilindru circular drept se obține un dreptunghi cu aria de 162π cm². Latura dreptunghiului care se înfășoară pe cercul bazei are lungimea de 18π cm. a) Determină raza bazei cilindrului. b) Determină lungimea generatoarei cilindrului. c) Fie AB un diametru al bazei inferioare și A′, B′ punctele de pe baza superioară pentru care AA′ și BB′ sunt generatoare. Determină perimetrul patrulaterului ABB′A′ și precizează ce fel de patrulater este acesta.
6. Se consideră un con circular drept cu vârful V și centrul bazei O. Punctele A și B sunt diametral opuse pe cercul bazei. Generatoarea conului are lungimea de 13 cm, iar AB = 10 cm. a) Desenează conul și construiește generatoarele VA și VB. b) Determină raza bazei conului și lungimea cercului de la baza conului. c) Calculează perimetrul triunghiului VAB. d) Justifică faptul că VO este mediană și înălțime în triunghiul VAB, apoi calculează lungimea segmentului VO.
7. a) Un con circular drept are raza bazei de 5 cm și generatoarea de 20 cm. Suprafața conică se desfășoară în plan, obținându-se un sector de cerc. Determină raza sectorului, lungimea arcului sectorului și măsura unghiului la centru al sectorului. b) Andrei decupează dintr-un carton un semicerc cu raza de 30 cm și îl pliază, fără suprapuneri, pentru a obține suprafața conică a unui coif de petrecere. Determină lungimea generatoarei coifului, lungimea cercului de la baza lui și raza bazei. Ce fel de triunghi formează vârful coifului cu capetele unui diametru al bazei? Justifică.
8. O cutie de cacao are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de 4 cm și generatoarea de 16 cm. Pe baza inferioară se află punctul A, iar pe baza superioară punctul C′, astfel încât C′ este capătul generatoarei CC′, unde C este punctul diametral opus lui A pe baza inferioară. O furnică pleacă din A și ajunge în C′, mergând pe suprafața cilindrică pe drumul cel mai scurt. Se consideră π = 3. a) Realizează desfășurarea suprafeței cilindrice și reprezintă pe ea drumul furnicii. b) Determină lungimea drumului parcurs de furnică. c) Compară lungimea găsită cu lungimea drumului format din semicercul AC, parcurs pe marginea bazei, urmat de generatoarea CC′. Care drum este mai scurt și cu câți centimetri?