Puncte, drepte, plane și corpuri geometrice – Exersezi și progresezi
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Considerăm configurația următoare. Dreapta a este inclusă în planul α, iar punctul M aparține dreptei a. Dreapta b intersectează planul α numai în punctul M. Punctul P aparține dreptei b, iar P ≠ M. Punctul Q aparține planului α, dar nu aparține dreptei a. Desenează configurația. Apoi stabilește care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate și care sunt false. Justifică pe scurt fiecare răspuns. i) P ∉ α; ii) MQ ⊂ α; iii) (a, b) = (a, P); iv) (a, P) = α; v) Q ∈ (a, b).
2. Folosind configurația de la itemul 1, determină: i) (a, P) ∩ α; ii) (MPQ) ∩ α; iii) PQ ∩ α; iv) (MPQ) ∩ (a, b). Justifică fiecare răspuns.
3. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD. O este centrul bazei. Desenează piramida și determină următoarele intersecții de plane: i) (VAB) ∩ (ABC); ii) (VAC) ∩ (ABC); iii) (VAC) ∩ (VBD); iv) (VOB) ∩ (VAD). Indicație: verifică ce puncte ale piramidei aparțin planului (VOB).
4. Piramida triunghiulară regulată VABC are baza un triunghi echilateral cu aria egală cu 9√3 cm². Se știe că ∢AVB = 90°. a) Determină lungimea muchiei bazei. b) Determină lungimea muchiei laterale. c) Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.
5. O prismă dreaptă ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are baza un hexagon regulat, iar fețele laterale sunt pătrate. Suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu 72 cm. a) Determină lungimea unei muchii. b) Determină aria bazei ABCDEF. c) Determină suma ariilor fețelor laterale.
6. Într-un con circular drept, AB este un diametru al bazei, V este vârful conului, iar ∢AVB = 120°. Generatoarea conului are lungimea de 8 cm. a) Determină înălțimea conului. b) Determină raza bazei. c) Determină lungimea cercului de la baza conului. d) Determină aria bazei conului.
7. Un rezervor are forma unui cilindru circular drept, cu raza bazei de 4 m și generatoarea de 9 m. Se va considera π = 3. AD este o generatoare, A fiind pe baza inferioară și D pe baza superioară. Punctul C se află pe cercul bazei superioare și este diametral opus punctului D. Un muncitor urcă de la A la C pe o scară lipită de suprafața laterală a cilindrului, pe drumul cel mai scurt posibil. a) Calculează perimetrul desfășurării pe un plan a suprafeței laterale a cilindrului. b) Determină lungimea drumului parcurs de muncitor de la A la C.
8. Un stâlp de iluminat este construit din unități de structură așezate una peste alta. Baza superioară a fiecărei unități este baza inferioară a unității următoare. O unitate de structură are forma unei prisme drepte cu baza pătrat, cu latura bazei de 1,2 m și înălțimea de 1,6 m. Pe fiecare față laterală a unității se montează și o diagonală. Fiecare segment din model este o grindă metalică, vopsită astfel: - muchiile bazelor sunt albastre; - muchiile laterale sunt verzi; - diagonalele fețelor laterale sunt roșii. Stâlpul trebuie să aibă înălțimea de 40 m. a) Calculează lungimea unei grinzi roșii. b) Câte unități de structură are stâlpul? c) Câte grinzi de fiecare culoare se folosesc? Atenție: grinzile bazelor comune nu se dublează. d) Calculează lungimea totală a grinzilor folosite.