Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul prescurtat)

1. Pentru x, y ∈ ℝ, descompune în factori folosind factorul comun: a) 9x + 15y − 6; b) 14x³y² − 21x²y³ + 7x²y; c) 3x(2x + 5) − 4(2x + 5).

2. Pentru x ∈ ℝ, descompune în factori folosind formulele (a + b)² = a² + 2ab + b² și (a − b)² = a² − 2ab + b²: a) x² − 18x + 81; b) 16x² + 40x + 25; c) 3x² − 2√15·x + 5.

3. Pentru x ∈ ℝ, descompune în factori folosind formula a² − b² = (a + b)(a − b): a) 49x² − 64; b) 5x² − 7; c) (3x + 2)² − (x − 4)².

4. Descompune în factori prin gruparea termenilor: a) x³ − 3x² + 2x − 6, unde x ∈ ℝ; b) x³ − 5x² − 4x + 20, unde x ∈ ℝ; c) xy + 3x − 2y − 6, unde x, y ∈ ℝ.

5. Pentru x ∈ ℝ, descompune în factori. Folosește metoda în care scrii coeficientul lui x ca sumă a două numere al căror produs este termenul liber sau metoda formării unui pătrat perfect: a) x² + 9x + 14; b) x² − 3x − 18; c) 3x² − 5x − 2.

6. a) Pentru x, y ∈ ℝ, descompune în factori expresia 9x² − 6x + 1 − 4y². b) Pentru x, y ∈ ℝ, descompune în factori expresia x² − y² + 6y − 9. c) Un teren dreptunghiular are aria, exprimată în metri pătrați, egală cu x² + 7x + 12, unde x > 0. Lungimea terenului este (x + 4) metri. Descompune în factori expresia ariei și determină lățimea terenului.

7. Se consideră expresia E(x) = x² − 10x + 29, unde x este număr real. a) Scrie expresia E(x) sub forma (x + a)² + b, unde a și b sunt numere reale. b) Demonstrează că E(x) ≥ 4, pentru orice număr real x. c) Determină cea mai mică valoare a expresiei E(x) și valoarea lui x pentru care se obține.

8. Determină numerele reale x și y pentru care x² + 9y² − 4x + 6y + 5 = 0. Scrie rezolvarea completă și justifică fiecare pas.