Evaluare: Calcul algebric în ℝ

1. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația x² + 2x − 15 = 0. Scrie toți pașii rezolvării.

2. Descompune în factori expresiile de mai jos, unde x ∈ ℝ: a) x² − 7x + 10; b) 4x² − 12x + 9; c) x³ − 9x.

3. Numerele reale x și y verifică relațiile x − y = 4 și x² − y² = 20. a) Calculează x + y. b) Calculează produsul x · y. Justifică fiecare răspuns.

4. a) Simplifică fracția algebrică (x² − 9)/(x² + 3x), unde x ∈ ℝ \ {−3, 0}. b) Amplifică cu 2 fracția algebrică 5/(x + 2), unde x ∈ ℝ \ {−2}, și scrie fracția obținută.

5. Se consideră F(x) = (3x − 1)/(x² + 1), unde x ∈ ℝ. a) Calculează F(2) și F(−1). b) Calculează F(2) − F(−1).

6. Se consideră expresia E(x) = (x + 2)² + (x − 1)² − 5, unde x ∈ ℝ. a) Demonstrează că E(x) = 2x(x + 1), pentru orice număr real x. b) Determină numerele reale x pentru care E(x) = 24. c) Demonstrează că E(n) este divizibil cu 4, pentru orice număr natural n.

7. Se consideră expresia E(x) = (3/(x − 1) − 3/(x + 1)) : (2x + 2)/(x² + 2x + 1), unde x ∈ ℝ \ {−1, 1}. a) Demonstrează că E(x) = 3/(x − 1), pentru orice x ∈ ℝ \ {−1, 1}. b) Determină numerele întregi n, cu n ≠ −1 și n ≠ 1, pentru care E(n) este număr întreg.

8. O grădină are forma unui dreptunghi cu aria de 40 m². Lungimea grădinii este cu 3 m mai mare decât lățimea. Notează lățimea cu x, scrie ecuația care descrie situația și rezolv-o. Determină apoi dimensiunile grădinii.