Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ

1. Descompuneți în factori, folosind metoda factorului comun: a) 18x³y² − 12x²y⁴; b) 15a⁴ + 10a³ − 5a²; c) (2x − 3)⁴ + 6(2x − 3)³.

2. Descompuneți în factori, folosind formulele de calcul prescurtat: a) 81x² − 16; b) 25x² − 30xy + 9y²; c) (x − 3)² − 64; d) 49 − (2x + 1)².

3. Descompuneți în factori, grupând convenabil termenii: a) 2ax − 6ay + bx − 3by; b) x³ − 3x² − 4x + 12; c) x² − y² + 3x − 3y.

4. Descompuneți în factori expresiile de mai jos. Pentru fiecare expresie, scrieți termenul care îl conține pe x ca sumă de doi termeni, apoi grupați termenii. a) x² + 11x + 24; b) x² − 3x − 28; c) 3x² + 7x + 2; d) 2x² − 7x + 6.

5. Descompuneți în factori. Folosiți, după caz, mai multe metode: factor comun, formule de calcul prescurtat, gruparea termenilor. a) 2x³ − 18x; b) x² − 8x + 16 − 9y²; c) a² − b² − 6b − 9.

6. Ioana vrea să amenajeze o grădină de formă dreptunghiulară. Lungimea grădinii este cu 5 metri mai mare decât lățimea, iar aria ei trebuie să fie de 66 m². Notați cu x lățimea grădinii și scrieți ecuația care modelează situația. Rezolvați ecuația prin descompunere în factori și determinați dimensiunile grădinii. Explicați de ce una dintre soluțiile ecuației nu convine.

7. a) Determinați numerele reale x și y știind că x² + y² − 10x + 2y + 26 = 0. b) Arătați că expresia E(x) = x² − 8x + 20 ia numai valori pozitive pentru orice număr real x. Determinați valoarea minimă a expresiei și valoarea lui x pentru care se obține.

8. a) Știind că expresia (x − 2)³ − 16(x − 2) are descompunerea în factori (x + a)(x + b)(x + c), determinați suma numerelor reale a, b și c. b) Demonstrați că numărul (n² + 5n)(n² + 5n + 8) + 16 este pătrat perfect, oricare ar fi numărul natural n.