Fracții algebrice. Operații cu fracții algebrice
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră fracția algebrică F(x) = (x² + 3)/(x + 1), x ≠ –1. a) Calculați F(2), F(0) și F(–3). b) Explicați de ce valoarea F(–1) nu există.
2. Determinați valorile reale ale lui x pentru care sunt definite (au sens) următoarele fracții algebrice: a) 5/(2x – 6); b) (x + 1)/(x² – 16); c) 3x/(x² + 5); d) 7/[x(x – 3)]. Justificați fiecare răspuns.
3. Simplificați fracțiile algebrice de mai jos, pe mulțimile pe care sunt definite. Descompuneți mai întâi în factori numărătorul și numitorul, acolo unde este necesar. a) (15x³y²)/(10xy⁵), x, y ∈ ℝ*; b) (x² – 9)/(x² + 6x + 9); c) (x² – 5x + 6)/(x² – 4).
4. Efectuați operațiile, pe mulțimile pe care fracțiile sunt definite, și simplificați rezultatul acolo unde este posibil: a) 2/(x – 3) + 5/(x – 3); b) 3/x – 2/(x + 1); c) 1/(x – 2) – 4/(x² – 4).
5. Efectuați operațiile, pe mulțimile pe care fracțiile sunt definite, și simplificați rezultatul: a) (x² – 1)/(3x) · (6x²)/(x + 1); b) (x² – 4x + 4)/(x + 3) : (x – 2)/(x² – 9).
6. Efectuați ridicările la putere, pe mulțimile pe care fracțiile sunt definite: a) (2x²/(3y))³, y ≠ 0; b) (x/(x + 2))², x ≠ –2 (dezvoltați numitorul); c) (3a/(2b²))⁻², a, b ∈ ℝ*.
7. Se consideră expresia E(x) = [(x + 3)/(x – 3) – (x – 3)/(x + 3)] · (x – 3)/(4x), unde x ∈ ℝ \ {–3, 0, 3}. a) Explicați de ce valorile –3, 0 și 3 sunt excluse. b) Arătați că E(x) = 3/(x + 3), pentru orice x ∈ ℝ \ {–3, 0, 3}. c) Determinați numerele întregi x pentru care E(x) este număr întreg.
8. Un bazin poate fi umplut de un robinet A în a ore, iar de un robinet B în b ore (a, b > 0). a) Scrieți, sub forma unei fracții algebrice, ce parte din bazin umplu cele două robinete împreună într-o oră. Aduceți rezultatul la forma cea mai simplă. b) Arătați că timpul necesar pentru umplerea bazinului cu ambele robinete deschise este t = ab/(a + b) ore. c) Calculați acest timp pentru a = 6 și b = 3.