Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ

1. Folosind metoda factorului comun, descompune în factori: a) 6x³ − 9x²; b) 10ab − 15a²b + 5ab²; c) (x − 3)² + 4(x − 3).

2. Observă că 4 − x = −(x − 4). Folosind această relație, descompune în factori: a) y(x − 4) + 2(4 − x); b) (5 − x)² − 3(x − 5); c) a²(a − 2) − 9(2 − a).

3. Folosind formula diferenței de pătrate a² − b² = (a − b)(a + b), descompune în factori: a) x² − 64; b) 9x² − 16y²; c) x² − 5; d) (x + 3)² − 4; e) 16x⁴ − 1. Continuă descompunerea până când niciun factor nu mai poate fi descompus.

4. Restrânge la pătratul unui binom următoarele expresii. Pune în evidență termenii din formula a² ± 2ab + b²: a) x² + 10x + 25; b) 9x² − 12x + 4; c) x² − 2√3·x + 3; d) x(x − 8) + 16.

5. Grupând convenabil termenii, descompune în factori: a) ax − 2a + bx − 2b; b) x³ − 3x² + 2x − 6; c) x³ + 2x² − 4x − 8; d) x² − 7x + 12. Pentru punctul d), scrie mai întâi −7x = −3x − 4x.

6. Descompune în factori folosind mai multe metode. Precizează metodele folosite: a) 2x³ − 18x; b) x² − 6x + 9 − y²; c) x² − y² + 3x + 3y.

7. Folosind descompunerea în factori: a) calculează rapid 87² − 13²; b) demonstrează că numărul N = 2⁶⁰ + 2³¹ + 1 este pătrat perfect; c) determină numerele reale x și y care verifică relația x² + y² + 34 = 6x − 10y.

8. Dintr-o foaie de carton de forma unui pătrat cu latura de a cm, Maria decupează dintr-un colț un pătrat cu latura de b cm. Suprafața de carton rămasă este de 21 cm². Lungimile a și b sunt numere naturale nenule, cu a > b. Modelează situația printr-o relație algebrică, descompune în factori și determină toate valorile posibile ale lui a și b.