Ecuații de forma ax² + bx + c = 0, a, b, c ∈ ℝ
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pentru fiecare dintre ecuațiile de mai jos scrie coeficienții a, b, c. Calculează discriminantul Δ = b² – 4ac și precizează câte soluții reale are ecuația (două soluții distincte, o soluție dublă sau nicio soluție reală). a) 2x² – 3x – 5 = 0; b) 9x² – 12x + 4 = 0; c) x² + 2x + 5 = 0.
2. Rezolvă în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații cu formă incompletă. Scrie mulțimea soluțiilor fiecărei ecuații. a) x² – 5x = 0; b) 3x² + 12x = 0; c) 4x² – 25 = 0; d) 5x² + 2 = 0; e) –2x² + 6 = 0.
3. Descompune în factori membrul stâng, completând la pătratul unui binom, apoi rezolvă ecuațiile. Model: x² + 4x – 5 = x² + 4x + 4 – 9 = (x + 2)² – 3² = (x – 1)(x + 5); S = {–5, 1}. a) x² + 6x – 7 = 0; b) x² – 10x + 21 = 0; c) x² – 2x – 1 = 0.
4. Rezolvă în ℝ ecuațiile de mai jos, folosind formula soluțiilor ecuației de gradul al doilea. Scrie de fiecare dată valoarea discriminantului. a) 3x² – 7x + 2 = 0; b) 2x² + x – 6 = 0; c) x² – 4x + 1 = 0; d) 4x² + 4x + 1 = 0.
5. Determină soluțiile reale ale ecuațiilor. Aduce mai întâi fiecare ecuație la forma ax² + bx + c = 0. La punctul b), scrie mai întâi condițiile de existență ale fracțiilor. a) (x + 2)(x – 3) = 2x – 2; b) x/(x – 1) + 2/x = 3.
6. Se consideră ecuația x² – 4x + m = 0, unde m ∈ ℝ. a) Determină numărul real m, știind că x₁ = –1 este o soluție a ecuației. b) Pentru valoarea lui m găsită, află cealaltă soluție a ecuației. c) Pentru aceeași valoare a lui m, descompune în factori expresia x² – 4x + m. d) Descompune în factori expresia 3x² – 7x + 2, folosind soluțiile ecuației 3x² – 7x + 2 = 0.
7. a) Știind că ecuația x² + px + q = 0 are mulțimea soluțiilor S = {–2, 5}, determină numerele reale p și q. b) Determină valorile naturale ale lui m pentru care ecuația x² + 6x + m = 0 are soluții reale. c) Arată că ecuația x² – (m + 2)x + 2m = 0 are soluții reale, oricare ar fi numărul real m.
8. O grădină are forma unui dreptunghi cu aria de 96 m². Lungimea grădinii este cu 4 m mai mare decât lățimea. Notează lățimea cu x, scrie ecuația care modelează situația, rezolv-o și determină dimensiunile grădinii. Explică de ce una dintre soluțiile ecuației nu convine.