Desfășurarea piramidei

1. Descrieți desfășurarea unei piramide patrulatere regulate VABCD. Precizați ce figuri geometrice o alcătuiesc, câte sunt din fiecare tip și ce relație există între laturile lor.

2. O piramidă are baza un poligon cu n laturi. a) Câte poligoane conține desfășurarea ei (baza și fețele laterale)? b) Desfășurarea unei piramide este formată din 13 poligoane. Precizați ce poligon este baza piramidei. Determinați numărul muchiilor și numărul vârfurilor piramidei.

3. Piramida triunghiulară regulată VABC are muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală VA = 5 cm. Desfășurarea ei, obținută prin rabatarea fețelor laterale în jurul muchiilor bazei, este poligonul V1AV2BV3C. a) Calculați perimetrul poligonului V1AV2BV3C. b) Calculați aria desfășurării. Explicați de ce aria desfășurării este egală cu aria totală a piramidei.

4. Un triunghi echilateral ABC de carton are perimetrul 24 cm. Se marchează mijloacele M, N, P ale laturilor BC, AC, AB. Triunghiul se îndoaie după liniile mijlocii MN, NP, PM până când vârfurile A, B, C se suprapun. a) Justificați că se obține un tetraedru regulat. b) Calculați lungimea muchiei acestui tetraedru. c) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului. d) Calculați aria totală a tetraedrului.

5. Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia bazei AB = 10 cm și muchia laterală VA = 13 cm. Prin rabatarea fețelor laterale în jurul muchiilor bazei se obține desfășurarea AV1BV2CV3DV4. Punctele V1, V2, V3, V4 sunt pozițiile vârfului V în fețele VAB, VBC, VCD, VDA. a) Calculați perimetrul poligonului AV1BV2CV3DV4. b) Calculați lungimea apotemei piramidei. c) Calculați distanța V1V3 în desfășurare.

6. Desfășurarea piramidei triunghiulare regulate VABC este poligonul V1AV2BV3C. Punctele V1, A, V2 sunt coliniare, iar V1V2 = 20 cm. a) Demonstrați că fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri echilaterale. b) Calculați lungimea muchiei bazei. c) Calculați aria totală a piramidei.

7. Piramida triunghiulară regulată VABC are muchiile laterale VA = VB = VC = 8 cm, iar fiecare unghi de la vârf al fețelor laterale are măsura 30° (∢AVB = ∢BVC = ∢CVA = 30°). O furnică pleacă din punctul A, se deplasează pe suprafața laterală a piramidei, traversează muchiile VB și VC și revine în A. Folosind desfășurarea suprafeței laterale în jurul vârfului V, determinați lungimea celui mai scurt drum posibil al furnicii. Justificați răspunsul.

8. Un elev vrea să construiască din carton o cutie în formă de piramidă patrulateră regulată. Baza are latura de 24 cm, iar muchia laterală are 20 cm. a) Calculați aria desfășurării piramidei, adică aria cartonului folosit efectiv. b) Pentru clapele de lipire mai trebuie adăugat 10% din această arie. Calculați aria totală de carton necesară.