Distanța dintre două plane paralele. Aplicații: înălțimea prismei, a cilindrului, a trunchiului de piramidă și a trunchiului de con
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu diagonala feței AB' = 6√2 cm. a) Demonstrați că AB ⊥ (ADD') și AB ⊥ (BCC'). b) Justificați că planele (ADD') și (BCC') sunt paralele și calculați distanța dintre ele.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are dimensiunile AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 5 cm. a) Justificați că dreapta A'B' este paralelă cu planul (ABC) și calculați distanța d(A'B', (ABC)). b) Justificați că dreapta AA' este paralelă cu planul (BCC') și calculați distanța d(AA', (BCC')).
3. O prismă patrulateră regulată are aria unei baze egală cu 25 cm² și aria laterală egală cu 120 cm². Calculați înălțimea prismei, adică distanța dintre planele bazelor.
4. Planele α și β sunt paralele. Dreapta d este perpendiculară pe planul α, cu d ∩ α = {A} și d ∩ β = {B}. Punctul C aparține dreptei d, iar punctul B este situat între C și A, cu BC = 3 cm. O dreaptă care trece prin C intersectează planul β în punctul D și planul α în punctul E, astfel încât BD = 4 cm și AE = 12 cm. Calculați distanța dintre planele α și β. Justificați de ce dreptele BD și AE sunt paralele.
5. Un cilindru circular drept are raza bazei de 5 cm, iar diagonala secțiunii axiale are 26 cm. a) Calculați distanța dintre planele bazelor cilindrului. b) Explicați de ce orice generatoare a cilindrului are lungimea egală cu înălțimea acestuia.
6. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată provine dintr-o piramidă secționată cu un plan paralel cu baza. Raportul dintre muchia bazei mici și muchia bazei mari este 2/5, iar înălțimea trunchiului este de 9 cm. Calculați înălțimea piramidei din care provine trunchiul și înălțimea piramidei mici care se îndepărtează.
7. Un trunchi de con circular drept are razele bazelor R = 10 cm și r = 4 cm, iar înălțimea sa este de 9 cm. a) Calculați înălțimea conului din care provine trunchiul. b) Calculați lungimea generatoarei trunchiului de con.
8. O cameră are podeaua și tavanul situate în plane paralele, aflate la distanța de 3 m unul de celălalt. Un bec este suspendat de tavan, iar distanța de la bec la planul tavanului este de 0,8 m. Sub bec se află o masă cu blatul orizontal, paralel cu podeaua, la înălțimea de 0,75 m față de podea. a) Calculați distanța de la bec la planul blatului mesei. b) O sfoară este întinsă între un punct de pe tavan și un punct de pe podea. Explicați de ce lungimea sforii nu poate fi mai mică de 3 m. c) Dacă sfoara are 5 m, calculați distanța dintre proiecțiile pe podea ale celor două capete ale sforii.