Plane paralele

1. ABCDA′B′C′D′ este un paralelipiped, iar O este punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD. Precizați pozițiile relative ale perechilor de plane de mai jos (paralele sau secante). Pentru planele secante, scrieți dreapta lor de intersecție. a) (ABB′) și (DCC′); b) (ABC) și (ACC′); c) (A′B′C′) și (ABD); d) (ACC′) și (BDD′).

2. ABCDA′B′C′D′ este un cub. Folosind teorema fierăstrăului, demonstrați că dreptele AC și A′C′ sunt paralele. Precizați care sunt cele două plane paralele și care este planul secant folosit.

3. VABCD este o piramidă patrulateră cu baza pătratul ABCD. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. Demonstrați că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele.

4. ABCA′B′C′ este o prismă triunghiulară cu muchiile laterale de lungime 12 cm. Pe muchiile AA′, BB′ și CC′ se iau punctele M, N, respectiv P, astfel încât AM = BN = CP = 5 cm. a) Demonstrați că patrulaterul ABNM este paralelogram și deduceți că MN ∥ AB. b) Demonstrați că (MNP) ∥ (ABC). c) Ce poziție relativă au planele (MNP) și (A′B′C′)? Justificați răspunsul.

5. Planele α, β și γ sunt paralele și distincte. O dreaptă d₁ intersectează planele α, β, γ în punctele A₁, B₁, respectiv C₁. O altă dreaptă d₂ intersectează aceleași plane în punctele A₂, B₂, respectiv C₂. Se știe că A₁B₁ = 4 cm, B₁C₁ = 6 cm și A₂C₂ = 15 cm, iar punctul B₂ se află între A₂ și C₂. Calculați lungimile segmentelor A₂B₂ și B₂C₂. Precizați teorema folosită.

6. Planele α și β sunt paralele. Dreptele paralele d₁ și d₂ intersectează planul α în punctele A, respectiv B, și planul β în punctele A′, respectiv B′. Se știe că AA′ = 7 cm. a) Demonstrați că patrulaterul ABB′A′ este paralelogram. b) Aflați lungimea segmentului BB′.

7. Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „Dacă o dreaptă din planul α este paralelă cu o dreaptă din planul β, atunci planele α și β sunt paralele.” Justificați răspunsul cu un exemplu pe cubul ABCDA′B′C′D′. Apoi formulați o condiție corectă care asigură paralelismul a două plane distincte, folosind drepte concurente.

8. Pardoseala parterului, pardoseala etajului 1, pardoseala etajului 2 și acoperișul plat ale unei clădiri sunt situate în plane paralele. Un stâlp vertical măsoară 3 m între parter și etajul 1, 3 m între etajul 1 și etajul 2 și 4 m între etajul 2 și acoperiș. Un cablu drept și înclinat pornește de la pardoseala parterului și ajunge la acoperiș. Cablul traversează cele două pardoseli intermediare și are lungimea totală de 25 m. Modelați situația cu plane paralele și calculați lungimea fiecăreia dintre cele trei porțiuni ale cablului, cuprinse între două niveluri consecutive.