Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanței de la un punct la o dreaptă
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pe planul pătratului ABCD, cu latura AB = 6 cm, se ridică perpendiculara PA, cu PA = 8 cm. a) Demonstrați, folosind teorema celor trei perpendiculare, că PB ⊥ BC. b) Calculați distanța de la punctul P la dreapta BC.
2. Dreptunghiul ABCD are AB = 8 cm și BC = 6 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara MA, cu MA = 3,6 cm. a) Construiți perpendiculara din punctul M pe diagonala BD și justificați construcția. b) Calculați distanța de la punctul M la dreapta BD.
3. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Dreapta DA este perpendiculară pe planul triunghiului, iar DA = 9 cm. Punctul E este mijlocul laturii BC. a) Demonstrați că DE ⊥ BC. b) Calculați distanța de la punctul D la dreapta BC. c) Calculați aria triunghiului DBC.
4. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 15 cm și AC = 20 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AM, cu AM = 5 cm. Calculați distanța de la punctul M la dreapta BC. Scrieți toate justificările.
5. Triunghiul echilateral ABC are latura de 12 cm, iar O este centrul său. Pe perpendiculara în O pe planul triunghiului se consideră punctul P, cu OP = 2 cm. a) Demonstrați că distanțele de la punctul P la dreptele AB, BC și CA sunt egale. b) Calculați această distanță.
6. Cubul ABCDEFGH are baza ABCD, muchiile laterale AE, BF, CG, DH și muchia de 6 cm. Notăm AC ∩ BD = {O}. a) Demonstrați că EO ⊥ BD. b) Calculați distanța de la punctul E la dreapta BD.
7. Rombul ABCD are latura de 8 cm și măsura unghiului BAD de 60°. Pe planul rombului se ridică perpendiculara MA, cu MA = 4 cm. Notăm AC ∩ BD = {O}. Calculați: a) distanța de la punctul M la diagonala BD; b) distanța de la punctul M la dreapta CD.
8. Un stâlp vertical AV, cu înălțimea de 10 m, este fixat în punctul A al unui teren plan. Un drum drept, reprezentat de dreapta d, se află în planul terenului, iar distanța de la A la drum este de 24 m. Se dorește întinderea unui cablu din vârful V al stâlpului până la drum, astfel încât lungimea cablului să fie cât mai mică. a) Descrieți cum se determină punctul de pe drum în care trebuie fixat cablul și justificați folosind teorema celor trei perpendiculare. b) Calculați lungimea minimă a cablului.