Determinarea planului. Relații între puncte, drepte, plane
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții de mai jos. Dacă propoziția este adevărată, justificați. Dacă este falsă, dați un contraexemplu. a) „Orice trei puncte distincte determină un plan.” b) „Două drepte concurente sunt coplanare.” c) „Două drepte distincte care nu au niciun punct comun sunt necoplanare.” d) „Dacă două drepte sunt necoplanare, atunci ele nu au niciun punct comun.”
2. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Precizați poziția relativă a dreptelor din fiecare pereche: identice, concurente, paralele sau necoplanare. Justificați fiecare răspuns. a) AB și C′D′; b) AD și CC′; c) A′C′ și B′D′; d) BD și B′D′; e) AA′ și BC.
3. Punctele A, B, C, D sunt situate în planul α, iar oricare trei dintre ele sunt necoliniare. Punctul E nu aparține planului α. Determinați, argumentat, numărul planelor distincte determinate de triplete de puncte necoliniare alese dintre punctele A, B, C, D, E. Scrieți notațiile acestor plane.
4. Punctele A, B, C, D sunt necoplanare, iar M este mijlocul segmentului AB. a) Explicați de ce punctele A, B, M nu determină un plan. b) Determinați, argumentat, numărul planelor distincte determinate de triplete de puncte necoliniare dintre punctele A, B, C, D, M. c) Justificați de ce planul (MCD) este diferit de planul (ACD).
5. Dreptele a și b sunt concurente în punctul O, iar punctul P nu aparține planului determinat de dreptele a și b. a) Scrieți notațiile planelor determinate de: dreptele a și b; dreapta a și punctul P; dreapta b și punctul P. b) Explicați de ce dreptele OP și a determină același plan ca dreapta a și punctul P. c) Precizați dacă planele (a, P) și (b, P) sunt identice sau distincte. Justificați răspunsul.
6. Dreptele d₁ și d₂ sunt paralele. Dreapta d₃ intersectează dreapta d₁ în punctul M și dreapta d₂ în punctul N, unde M ≠ N. Demonstrați că dreptele d₁, d₂ și d₃ sunt coplanare. Precizați ce teoremă despre determinarea planului ați folosit.
7. Se consideră piramida patrulateră VABCD, cu baza pătratul ABCD. Vârful V nu aparține planului bazei, iar AC ∩ BD = {O}. a) Precizați, argumentat, poziția relativă a dreptelor din fiecare pereche: VA și BC; VO și AC; AB și CD; VB și VD. b) Scrieți notația planului determinat de dreptele VO și BD. c) Explicați de ce punctul O aparține planului (VAC).
8. Triunghiul ABC este situat în planul α, iar punctul D nu aparține planului α. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, AC, DB, respectiv DC. a) Demonstrați că dreptele MN și PQ sunt paralele. b) Demonstrați că punctele M, N, P, Q sunt coplanare. c) Precizați, argumentat, poziția relativă a dreptelor MN și DA.