Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și secțiuni axiale
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Stabiliți care dintre propozițiile următoare sunt adevărate și care sunt false. Justificați fiecare răspuns. p1: (ADD′) ⊥ (ABC); p2: (ACC′) ⊥ (BDD′); p3: (A′BC) ⊥ (ABC).
2. Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are latura bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 8 cm. a) Desenați prisma și reprezentați secțiunea diagonală ACC′A′. b) Demonstrați că ACC′A′ este dreptunghi și că planul (ACC′) este perpendicular pe planul (ABC). c) Calculați aria secțiunii diagonale ACC′A′.
3. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH, cu baza ABCD, are AB = 15 cm, BC = 20 cm și AE = 10 cm. Fie AM ⊥ BD, cu M ∈ BD. a) Demonstrați că planele (AEM) și (BDF) sunt perpendiculare. b) Calculați distanța de la punctul A la planul (BDF). c) Calculați aria secțiunii diagonale BDHF.
4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 8 cm și muchia laterală VA = 6 cm. Punctul O este centrul bazei. a) Demonstrați că (VAC) ⊥ (VBD). b) Calculați înălțimea VO a piramidei. c) Calculați aria secțiunii diagonale VAC.
5. Un cilindru circular drept are raza bazei de 3 cm și generatoarea de 8 cm. Suprafața ABCD este o secțiune axială a cilindrului, cu AB diametru al uneia dintre baze. a) Precizați natura patrulaterului ABCD și justificați de ce planul acestei secțiuni este perpendicular pe planul bazei. b) Calculați aria secțiunii axiale. c) Calculați lungimea diagonalei AC a secțiunii axiale.
6. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral VAB cu perimetrul de 36 cm. a) Calculați raza bazei conului. b) Calculați înălțimea conului. c) Calculați aria secțiunii axiale. d) Explicați de ce toate secțiunile axiale ale conului sunt congruente.
7. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 8 cm. a) Câte secțiuni diagonale are prisma? Justificați. b) Scrieți secțiunile diagonale care conțin muchia AA′ și calculați aria fiecăreia. c) Stabiliți, argumentat, care dintre secțiunile de la punctul b) este și secțiune axială a prismei.
8. Un ghiveci are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′. Baza mare ABCD are latura de 20 cm, baza mică A′B′C′D′ are latura de 10 cm, iar înălțimea trunchiului este de 12 cm. Punctele E, F, E′, F′ sunt mijloacele muchiilor AD, BC, A′D′, respectiv B′C′. a) Explicați de ce suprafața EFF′E′ este o secțiune axială a trunchiului și demonstrați că planul (EFF′) este perpendicular pe planul (ABC). b) Calculați perimetrul patrulaterului EFF′E′. c) Calculați aria secțiunii diagonale ACC′A′ a ghiveciului.