Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei B'C'. Calculați: a) distanța d(A, C); b) distanța d(A, C'); c) distanța d(A, M). Precizați triunghiul dreptunghic folosit și justificați de ce este dreptunghic.
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 8 cm. Notăm cu O centrul pătratului ABCD. a) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arătați că D'O ⊥ AC. Apoi calculați distanța de la D' la dreapta AC. b) Calculați distanța de la punctul A la planul (BDD'). c) Determinați măsura unghiului dintre dreptele A'B și AC. d) Calculați tangenta unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC).
3. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 12 cm, BC = 9 cm și AA' = 8 cm. Calculați: a) lungimea diagonalei BD' a paralelipipedului; b) distanța de la punctul D' la dreapta BC (justificați construcția perpendicularei); c) tangenta unghiului dintre dreapta BD' și planul (ABC).
4. În piramida triunghiulară regulată VABC, O este centrul bazei, M este mijlocul muchiei BC, AB = 6√3 cm și înălțimea VO = 3 cm. Calculați: a) apotema bazei OM și apotema piramidei VM; b) lungimea muchiei laterale VA; c) măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC); d) sinusul unghiului dintre muchia VA și planul bazei; e) distanța de la punctul O la planul (VBC).
5. În piramida patrulateră regulată VABCD, O este centrul bazei, AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Calculați: a) apotema piramidei; b) lungimea muchiei laterale; c) tangenta unghiului dintre o față laterală și planul bazei; d) distanța de la O la planul (VBC); e) distanța de la A la planul (VBC). Indicație: arătați mai întâi că AD ∥ (VBC).
6. În prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' se cunosc AB = 6 cm și AA' = 3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Arătați că A'M ⊥ BC. b) Determinați măsura unghiului dintre planele (A'BC) și (ABC). c) Calculați distanța de la punctul A la planul (A'BC). Descrieți în limbaj matematic construcția perpendicularei din A pe plan.
7. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are latura bazei mari AB = 20 cm, latura bazei mici A'B' = 8 cm și înălțimea de 8 cm. Calculați: a) apotema trunchiului; b) lungimea muchiei laterale; c) tangenta unghiului dintre o față laterală și planul bazei mari. Precizați, pentru fiecare cerință, trapezul dreptunghic folosit.
8. Un container are forma unui paralelipiped dreptunghic. Interiorul lui are lungimea de 6 m, lățimea de 2 m și înălțimea de 3 m. a) Se sprijină o bară rigidă dreaptă dintr-un colț al podelei până în colțul opus al tavanului. Calculați lungimea barei. b) Calculați sinusul unghiului format de bară cu planul podelei. c) Se poate așeza în interiorul containerului o țeavă dreaptă de 6,8 m lungime? Justificați răspunsul.