Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul prismei drepte (determinare prin calcul)
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia AB = 6 cm. Calculează: a) distanța de la punctul A la planul (BCC'); b) măsura unghiului dintre dreptele AB' și BC'; c) distanța de la punctul A la dreapta B'C. Justifică fiecare răspuns.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 24 cm. Calculează: a) lungimea diagonalei A'C; b) sinusul unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC); c) distanța de la punctul A la dreapta A'C.
3. Prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' are latura bazei AB = 12 cm și muchia laterală AA' = 6√3 cm. Calculează: a) distanța de la punctul A la planul (BCC'); b) tangenta unghiului dintre dreapta A'B și planul (ABC); c) măsura unghiului dintre planele (ABB') și (ACC'). Justifică fiecare răspuns.
4. Prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are AB = 4 cm și AA' = 4√2 cm. Fie O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Determină măsura unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC). b) Arată că A'O ⊥ BD și calculează distanța de la punctul A' la dreapta BD. c) Calculează tangenta unghiului dintre planele (A'BD) și (ABC).
5. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F' are latura bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA' = 6√3 cm. a) Calculează distanța de la punctul A' la dreapta CD. b) Determină măsura unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC). c) Calculează distanța de la punctul A la planul (DEE').
6. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 6√3 cm. a) Arată că unghiul dintre planele (A'BC) și (ABC) este unghiul A'BA și determină măsura lui. b) Calculează distanța de la punctul A la planul (A'BC).
7. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea 5 m, lățimea 4 m și înălțimea 3 m. a) Calculează distanța maximă dintre două colțuri ale camerei. b) O lampă este fixată în centrul tavanului. Calculează distanța de la lampă la un colț al podelei. c) Un cablu cu lungimea de 4 m, întins în linie dreaptă, este suficient pentru a lega lampa direct de un colț al podelei? Justifică răspunsul.
8. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. a) Demonstrează că dreptele AC' și BD sunt perpendiculare. b) Calculează cosinusul unghiului dintre diagonala A'C și planul (ABC). c) Calculează distanța de la punctul A la diagonala BD'.