Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice (determinare prin calcul)
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. a) Calculează lungimea diagonalei BD' a cubului. b) Determină distanța de la punctul C la dreapta BD'. c) Determină măsura unghiului format de dreptele A'B și B'C. Justifică fiecare etapă a rezolvării.
2. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 10 cm. a) Calculează lungimea diagonalei AC'. b) Determină măsura unghiului format de dreapta AC' cu planul (ABC). c) Determină tangenta unghiului format de planele (A'BD) și (ABC).
3. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC cu AB = 6√3 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Arată că apotema piramidei are lungimea de 5 cm. b) Calculează lungimea muchiei laterale VA. c) Determină cosinusul unghiului format de planele (VBC) și (ABC). d) Determină distanța de la punctul O la planul (VBC).
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 8 cm și {O} = AC ∩ BD. Planul unei fețe laterale formează cu planul bazei un unghi cu măsura de 60°. a) Determină înălțimea piramidei. b) Determină lungimea muchiei laterale. c) Calculează distanța de la punctul O la planul (VBC). d) Calculează distanța de la punctul A la planul (VBC).
5. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu AB = 6 cm și AA' = 4 cm. a) Determină distanța de la punctul A' la dreapta BC. Indică teorema folosită. b) Determină tangenta unghiului format de planele (A'BC) și (ABC). c) Determină sinusul unghiului format de dreapta A'B cu planul (ACC').
6. Se consideră prisma hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F' cu muchia bazei AB = 4 cm și muchia laterală AA' = 4√3 cm. a) Calculează lungimea segmentului AD'. b) Demonstrează că A'C ⊥ CD și calculează distanța de la punctul A' la dreapta CD. c) Determină măsura unghiului format de planele (A'CD) și (ABC).
7. Un con circular drept are vârful V, centrul bazei O, raza bazei de 6 cm și generatoarea de 10 cm. Punctele A și B sunt diametral opuse pe cercul bazei. a) Calculează înălțimea conului. b) Determină distanța de la punctul O la generatoarea VA. c) Calculează aria triunghiului VAB și apoi distanța de la punctul A la dreapta VB. d) Determină cosinusul unghiului format de generatoarea VA cu planul bazei.
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 5 m, lățimea de 4 m și înălțimea de 3 m. În centrul tavanului este montată o lampă L. a) Calculează distanța dintre un colț al podelei și colțul opus al tavanului (diagonala camerei). b) Verifică dacă o bară dreaptă cu lungimea de 7 m poate fi așezată în cameră, cu capetele în două colțuri opuse. c) Determină distanța de la lampa L la un colț al podelei.