Recapitulare finală: intervale, calcul algebric, funcții, geometrie în spațiu, arii și volume
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {x | x ∈ ℝ și |3x − 1| ≤ 8} și B = {x | x ∈ ℝ și 2(x − 1) − 5x > −11}. a) Scrie mulțimile A și B sub formă de intervale. b) Determină A ∪ B și A ∩ B. c) Calculează suma numerelor întregi din mulțimea A.
2. Se consideră expresia E(x) = (2x − 1)² − 3(x + 1)(x − 1) − 2x(x − 3), unde x este număr real. a) Arată că E(x) = −x² + 2x + 4, pentru orice număr real x. b) Calculează E(−1). c) Demonstrează că E(x) ≤ 5, pentru orice număr real x. d) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația E(x) = 1. e) Determină numerele reale x pentru care E(x) + x² < 10. Scrie răspunsul sub formă de interval.
3. Se consideră expresia E(x) = (x² + 3x − 10)/(x² − 4) : (x + 1)/(x + 2), unde x este număr real, x ≠ −2, x ≠ −1 și x ≠ 2. a) Arată că x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2), pentru orice număr real x. b) Arată că E(x) = (x + 5)/(x + 1). c) Determină valorile numărului natural n, n ≠ 2, pentru care E(n) este număr natural.
4. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 4 și g : ℝ → ℝ, g(x) = −x + 5. Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele B, respectiv C. Reprezentarea geometrică a graficului funcției g intersectează axa Ox în punctul D. a) Calculează f(1) + g(1). b) Verifică dacă punctul A(−1, 6) aparține reprezentării geometrice a graficului funcției g. c) Determină numărul real m pentru care punctul M(m, 4) aparține reprezentării geometrice a graficului funcției f. d) Determină coordonatele punctului de pe graficul funcției f care are ordonata egală cu abscisa. e) Determină distanța de la originea O a sistemului de axe la dreapta BC. f) Graficele funcțiilor f și g se intersectează în punctul F. Determină coordonatele punctului F și aria triunghiului FBD.
5. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 8 cm și înălțimea VO = 3 cm, unde O este centrul pătratului ABCD. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VA, respectiv VC, iar P este mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea apotemei VP a piramidei. b) Determină aria totală și volumul piramidei VABCD. c) Demonstrează că dreapta MN este paralelă cu planul (ABC). d) Determină sinusul unghiului format de planele (VBC) și (ABC). e) Determină distanța de la punctul O la planul (VBC).
6. În prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' se știe că AB = 6 cm și că măsura unghiului dintre dreapta AC' și planul (ABC) este egală cu 45°. Notăm cu O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Arată că AA' = 6√2 cm. b) Determină volumul și aria totală a prismei. c) Demonstrează că dreptele BD și AC' sunt perpendiculare. d) Determină distanța de la punctul C la planul (BDC').
7. Un con circular drept are raza bazei R = 6 cm și generatoarea G = 10 cm. a) Determină înălțimea conului. b) Calculează aria totală și volumul conului. c) Conul se secționează cu un plan paralel cu baza, la distanța de 4 cm de planul bazei. Determină volumul conului mic obținut și volumul trunchiului de con. Arată că raportul dintre volumul conului mic și volumul trunchiului de con este 1/7. d) Determină măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a conului.
8. Un vas are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de 10 cm și înălțimea de 30 cm. Folosește aproximarea π ≈ 3,14. a) Verifică dacă în vas încap 9 litri de apă. b) În vas se toarnă apă până la înălțimea de h cm, unde 0 < h ≤ 30. Exprimă volumul apei V(h), în cm³, în funcție de h. c) Determină valorile lui h pentru care volumul apei din vas este cel mult 6 litri. Scrie răspunsul sub formă de interval și aproximează capătul intervalului la o zecimală.