Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul piramidei regulate
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu baza ABC. Se știe că AB = 12 cm și VA = 8 cm. Fie O centrul bazei și M mijlocul muchiei BC. Calculează: a) lungimile segmentelor AO, VO și VM; b) măsura unghiului dintre muchia VA și planul (ABC); c) distanța de la punctul O la muchia VA.
2. VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu baza ABC. Se știe că AB = 6√3 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. Calculează: a) lungimile segmentelor OM, AM și VM; b) tangenta unghiului dintre planul (VBC) și planul (ABC); c) distanța de la punctul O la planul (VBC); d) distanța de la punctul A la planul (VBC).
3. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu baza ABCD. Se știe că AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. Calculează: a) apotema VM a piramidei; b) sinusul unghiului dintre planul (VBC) și planul bazei; c) distanța de la punctul O la planul (VBC); d) distanța de la punctul A la planul (VBC). Justifică relația dintre această distanță și cea de la punctul c).
4. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu baza ABCD și O = AC ∩ BD. Se știe că AB = 6√2 cm și VA = 12 cm. Calculează: a) măsura unghiului dintre muchia laterală VA și planul (ABC); b) înălțimea VO a piramidei; c) distanța de la punctul O la muchia VA; d) cosinusul unghiului dintre dreptele VA și BC.
5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile egale cu 6 cm. Fie E piciorul perpendicularei din B pe muchia VC. a) Arată că DE ⊥ VC și precizează unghiul dintre planele (VBC) și (VDC). b) Calculează lungimile segmentelor BE, DE și BD. c) Calculează sinusul unghiului dintre planele (VBC) și (VDC).
6. Acoperișul unui foișor are forma suprafeței laterale a unei piramide patrulatere regulate VABCD. Latura bazei este AB = 12 m, iar înălțimea este VO = 6√3 m. Fie M mijlocul lui BC și N mijlocul lui AD. a) Calculează apotema VM a acoperișului. b) Calculează măsura unghiului pe care îl face fața (VBC) cu planul bazei (înclinarea acoperișului). c) Explică de ce dreapta de intersecție a planelor (VBC) și (VAD) este paralelă cu BC. Calculează apoi măsura unghiului dintre fețele opuse (VBC) și (VAD).
7. VABCDEF este o piramidă hexagonală regulată cu baza ABCDEF, latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 9 cm. Fie M mijlocul muchiei AB. Calculează: a) apotema bazei OM și apotema piramidei VM; b) măsura unghiului dintre planul (VAB) și planul bazei; c) distanța de la punctul O la planul (VAB); d) distanța de la punctul B la planul (VAD). Justifică mai întâi că (VAD) ⊥ (ABC).
8. ABCD este un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm. Fie O centrul triunghiului BCD și M mijlocul muchiei CD. a) Demonstrează că AB ⊥ CD. b) Calculează înălțimea AO a tetraedrului. c) Calculează tangenta unghiului dintre planul (ACD) și planul (BCD). d) Calculează distanța de la punctul O la planul (ACD).